Đến nội dung

quangbinng

quangbinng

Đăng ký: 12-08-2014
Offline Đăng nhập: 13-05-2018 - 15:15
**---

#625649 2 ma trận $AB,BA$ có cùng đa thức đặc trưng

Gửi bởi quangbinng trong 07-04-2016 - 16:36

Giả thiết các ma trận đều thoả mãn điều kiện ban đầu của bài toán

1/ Chứng minh 2 ma trận $AB,BA$ có cùng đa thức đặc trưng

2/ Với mọi ma trận $A=B+C$ với $B$ luỹ linh và $C$ chéo hoá được thì $BC=CB$

3/a. Với mọi số $n$ khác 0 luôn tồn tại ma trận cấp n thoả mãn $A^{3}=A+I$

   b. Định thức của ma trận thoả mãn câu a luôn dương

 

Câu 1 đúng vì $\det(AB-\lambda.E)=\det(BA-\lambda.E)$

chứng minh cho $A$ khả nghịch thì đơn giản, trường hợp không khả nghịch thì $A-\epsilon.E$ sẽ khả nghịch, tồn tại vô số $\epsilon$ cho đẳng thức đúng mà nó lại là 2 đa thức bằng nhau cho nên khi $\epsilon=0$ thì nó cũng đúng.

 

Câu 3. Ta chỉ cần chọn A là ma trận đường chéo có các phần tử đều bằng $\lambda$ trong đó, $\lambda$ là nghiệm của phương trình $x^3=x+1$.

 

b. $I=A(A^2-I)=A(A-I)(A+I)=A(A-I)A^3=A^4(A-I)$

như vậy thì  do $|A|^4$ là số dương cho nên $|A-I|$ cũng phải dương vì $\det I=1$.

 

Lại có $|A|=|A^3-I|=|A-I||A^2+A+I| \ge 0$ vì $|A^2+A+I| \ge 0$ và ở trên thì ta đã luận ra được là $|A-I| \ge 0$ 

 

p/s: chú đi thi olp toán không, làm quen đi




#598952 $AB^{T}+A^{T}B=0$

Gửi bởi quangbinng trong 18-11-2015 - 16:05

$\begin{vmatrix} 3& 2& 0& ...& 0& 0\\ 1& 3& 2& ...& 0& 0\\ 0& 1& 3& ...& 0& 0\\ ...& & & & & \\ 0& 0& 0& ...& 3& 2\\ 0& 0& 0& ...& 1& 3\end{vmatrix}$

 


 

Bạn giải thích rõ hơn cho mình khúc đỏ đỏ được ko?

 

 

một ma trận A nhé, nếu  tất cả các phần tử của 1 dòng  của ma trận A đều được nhân với $\alpha$ thì định thức của nó sẽ được nhân thêm $\alpha$:

 

ví dụ :

$\begin{vmatrix} &\alpha.a  &\alpha.b  &\alpha.c \\& d &e &f \\ &g &h &i \end{vmatrix}=\alpha. \begin{vmatrix} &a  &b  &c \\ &d &e &f \\ &g &h &i \end{vmatrix}$ 

 

như vậy thì đương nhiên $|-X|=(-1)^n|X|$ rồi vì ma trận $-X$ có n dòng, mà mỗi dòng đều được nhân thêm số $\alpha=-1$ mà :D




#598314 $AB^{T}+A^{T}B=0$

Gửi bởi quangbinng trong 14-11-2015 - 20:24

 

2/ Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp $n$ lẻ và $AB^{T}+A^{T}B=0$. Chứng minh $A$ hoặc $B$ suy biến

 

Bài 2: vì $(AB^T)=-(A^TB)=-(B^TA)^T$ , đặt $AB^T$ là $X$ thì $X=-X^T$ lấy định thức 2 vế thì ta có: $|X|=(-1)^n|X|$ như vậy do $n$ lẻ nên $|X|=0 |A|.|B|=0$ do đó phải có 1 cái suy biến, đpcm




#598249 $AB^{T}+A^{T}B=0$

Gửi bởi quangbinng trong 14-11-2015 - 10:04

1/ Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp $n$

Chứng minh nếu $AB-A^{T}B=E$ thì $n$ là số chẵn

 

xin làm bài 1:

 

ta sẽ chứng minh rằng nếu $A-A^T$ khả nghịch thì $n$ là chẵn, thật vậy:

$|A-A^T|=|(A-A^T)^T|=|A^T-A|=(-1)^n||A-A^T|$ như vậy $n$ không thể là lẻ được vì như thế thì $A-A^T$ có định thức bằng $0$, đpcm!




#597746 $A^{2}+B^{2}=AB$

Gửi bởi quangbinng trong 10-11-2015 - 21:09

Cho $A,B$ là 2 ma trận vuông cấp $n$ và $A^{2}+B^{2}=AB$

Chứng minh nếu $BA-AB$ khả đảo thì $n$ là bội của 3

 

Bài này đã từng xem giải rồi mà nghĩ mãi chả ra, nhớ mang máng là sử dụng số phức, mình biến đổi được:

 

$(A-xB)(A+x^2B)=x(AB-BA)$ rồi,

xong bí,




#542758 Điều kiện khả tích của hàm số

Gửi bởi quangbinng trong 02-02-2015 - 21:06

Em đọc xong cái định về tích phân xác định trên $[a,b]$ là chia $[a,b]$ thành nhiều đoạn nhỏ để khi đường kính các đoạn tiến đến $0$ thì  có tổng $I$ tiến đến một giới hạn...

 

sau đó ở dưới có kết luận là:

Hàm $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ thỏa mãn một trong số các tính chất sau thì khả tích:

*) liên tục

*) bị chặn, và có một số hữu hạn điểm gián đoạn

*) đơn điệu và bị chặn

 

anh chị giúp em giải thích tại sao ạ.

 

 

và thêm 2 cái nữa:

 

Nếu $f$ liên tục và tồn tại hàm ngược $f^{-1}$ thì hàm ngược đó có liên tục không?

 

 

 " giới nội " là gì ?

 

 

Cám ơn nhiều ạ.




#540418 Chứng minh $r(A)+r(E-A)=n$ với $A^2=A$

Gửi bởi quangbinng trong 11-01-2015 - 19:17

Sử dụng BDT sylvester $n =r(E)=r (A+E-A) \le r(A)+r(E-A) \le n+r[A(E-A)]=n$ suy ra đpcm




#540265 Tìm phần tử dòng 2 cột 3 của ma trận 4B'BA

Gửi bởi quangbinng trong 10-01-2015 - 15:02

này c :D c giải thích giúp mình sự liên quan của hạng với ma trận phụ hợp được không ?

Trong đề Neu thường có kiểu tính ma trận phụ hợp nhưng tính hạng xong rồi => bằng 0 luôn. Tks c nhé :D

 

Hạng của ma trận phụ hợp liên quan đến hạng của ma trận ban đầu.

Hạng của ma trận phụ hợp chỉ xảy ra có 3 trường hợp :

Nếu $rank (A)=n$ tức $A$ khả nghịch thì do $A.A^*=detA.I$ cho nên $A^*$ khả nghịch và có hạng là $n$.

Nếu $rank (A)=n-1$ thì $det A=0$ và có ít nhất 1 định thức con cấp $n-1$ là khác $0$ tức $rank A^* \ge 1$ và ta sử dụng BĐT sylvester $rank (A.A^*)+n \ge rank A+rank A^*$ do đó $0+n \ge (n-1)+rank A^*$ tức $1 \ge rank A^* \ge 1$ nên $rank A^*=1$

Nếu $rank (A)<n-1$ thì do tất cả các định thức con cấp $n-1$ đều bằng $0$ nên $A^*$ là ma trận $0$ và có $rank =0$

 

Có thể tạo ra 1 bài toán vui bằng cách :hãy tìm một ma trận $A$ cấp $n$ sao cho $A^*= [\mathcal{matrix \ \ have \ \ rank \ \ by \ \ n-2}]$




#540264 Về tam giác hóa ma trận

Gửi bởi quangbinng trong 10-01-2015 - 14:53

Hôm nay em có lên web http://math.stackexchange.com/post  bài này nhưng mà nhận được lời giải khó hiểu quá, mọi người giúp em với @@

 

em không tra được khái niệm "triangularisable"  nên đọc phần dưới cũng không hiểu :( em nghĩ nó là tam giác hóa nhưng tài liệu trường em chỉ dạy chéo hóa, ai giúp em với.

Hình gửi kèm

  • 111111111.jpg



#540240 $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}...

Gửi bởi quangbinng trong 10-01-2015 - 11:41

c/m bđt phụ $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geqslant \frac{1}{1+xy}$

 

Quy đông lên là ra mà $(1+y)^2(1+xy)+(1+x)^2(1+xy) \ge (1+x)^2(1+y)^2$




#537639 Nếu $A$ là ma trận của một tự đồng cấu $f$ thì $A^...

Gửi bởi quangbinng trong 13-12-2014 - 11:40

Nếu $A$ là ma trận của một tự đồng cấu $f$ thì $A^{n}$ có thể coi là một ma trận của $f^{n}$ không ?

Và $Ker(A)$ có được hiểu là $Ker(f)$ không ???????

 

đúng rồi đó em, ma trận biểu diễn A với f người ta toàn coi là 1




#536127 Tìm $x,y,A,B$ khi biết $AB,BA$

Gửi bởi quangbinng trong 04-12-2014 - 07:07

Cho $=$AB=\begin{bmatrix} 5 &11 \\11 &25 \end{bmatrix},BA=\begin{bmatrix} x &14 \\y &14 \end{bmatrix}$

Tìm $x,y,A,B$

 

Bài này dựa vào $ trace(AB)=trace(BA)$ suy ra được $x=30-14=12$.

Dựa thêm vào $det(AB)=det(BA)$ suy ra nốt được $(12.14)-14y=(5.25)-(11.11)$ hay $y=82/7$.

Sau đó thì $A=\begin{bmatrix} 5 &11 \\11 &25 \end{bmatrix}B^{-1}$

và $A=B^{-1}\begin{bmatrix} 12 &14 \\82/7 &14 \end{bmatrix}$ 

đặt $B^{-1}=\begin{bmatrix} a& b \\ c &d \end{bmatrix}$ , thay vào giải 4 hệ, và có 4 ẩn.

 

 

Hình như đề đúng là $x,y$ ở trên đường chéo cơ, như thế đáp án sẽ đẹp hơn.




#535661 $A^2+B^2=2AB$

Gửi bởi quangbinng trong 30-11-2014 - 23:03

mình chép ra lời giải nhé:

 

Giả sử $(A-B)$ khả nghịch.

 $(A-B)^{2}=AB-BA = (A-B)B - B(A-B)$,
 Do đó $I_{n} = B(A-B)^{-1} - (A-B)^{-1}B$ Vô lí vì vết 2 vế khác nhau.



#535653 Chứng minh rằng mỗi ma trận có hạng $r$

Gửi bởi quangbinng trong 30-11-2014 - 22:29

ma trận khối $I_r$ là ma trận đơn vị cấp $r$, lý thuyết về biến đổi sơ cấp có thể đưa 1 ma trận về dạng đường chéo mà các phần tử trên đường chéo là 1 ấy.




#535496 Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n sao cho với mọi ma trận B vuông cấp n ta...

Gửi bởi quangbinng trong 30-11-2014 - 10:58

Câu 1: Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n $(n\geqslant 2)$ sao cho với mọi ma trận B vuông cấp n ta đều có $det(A+B)=detA+detB$

 

Cho $B=A$ thì:

 

$det(A+A)=det A+det A mà det (A+A)=det(2A)=2^ndet A.$ Nhưng do $n \ge 2$ nên $det A=0$.

 

giả sử $0<rank A=r<n$ thì $A=P\begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}Q$ . Ta chọn $B=P\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0& I_r \end{bmatrix}Q$

 

thì $det (A+B)\not =0$, còn $det A+det B=0+0=0$

vô lí. vậy $rank A=0$ tức $A=0$

 

 

Bài 2 làm tương tự.