FLORA

Bác nào cho e xin lời giải vắn tắt bài hệ với bài tìm hai cs tận cùng với!!

S= 1$(2^{22}-2^{2})+ (3^{22}-3^{2})+...+(2015^{22}-2015^{2})+ 1^{2}+2^{2}+...+2015^{2}$

xét số dạng $a^{22}-a^{2}$ = $a^{2}(a^{20}-1)$ với a tự nhiên , $a \geq 2$

vì $a^{20}-1 \vdots a^{2}-1$ nên $a^{2}(a^{20}-1)\vdots a^{2}(a^{2}-1)\vdots 4$

xét $a\vdots 5$ thì $a^{2}\vdots 25 => a^{2}(a^{20}-1)\vdots 25$

xét a không chia hết cho 5 mà a tự nhiên, $a\geq 2$ nên (a,5)=1

=> $a^{5-1}\equiv 1(mod 5)$ 

=> $a^{4}\equiv 1$ (mod 5) 

thấy $a^{20}-1= (a^{4}-1)$((a^4)^4+ (a^4)^3+(a^4)^2+a^4 +1)$

mà $a^{4}-1 \vdots 5$

và $(a^4)^4 + (a^4)^3+ (a^4)^2+a^4 + 1 \equiv 1+1+1+1+1 \equiv 0$( mod 5)

nên $a^{20}-1 \vdots 25$

như vậy $a^{2}(a^{20}-1) \vdots 4.25=100$

lại có $1^2+2^2+..+2015^2=\frac{2015(2015+1)(2.2015+1)}{6}\equiv 40$ ( mod 100)

vậy S tận cùng là 40

  Bài 5.(2 điểm) Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc nằm trên cạnh của 1 tam giác đều có cạnh bằng 6cm. Chứng minh rằng có thể vẽ được 1 đường tròn có đường kính bằng $\sqrt{3}$ chứa ít nhất 11 điểm trong số các điểm đã cho.

 

Ta chia tam giác ABC đều làm 4 tam giác đều ADE, DEF, BDF, EFC với D,E,F lần lượt là trung điểm AB, AC, BC

Xét tam giác ADE có O là tâm, kẻ OM, ON, OP vuông góc vs AD, DE, AE . 

C/m tứ giác AMOP, DMON, OPNE nội tiếp

Tương tự với các tam giác còn lại như vậy ta chia tam giác ABC lm 12 tứ giác nội tiếp

Lại có 121= 12 x 10 +1 , theo nguyên lí dirichle thì sẽ có ít nhất 1 trong 12 tứ giác đang xét chứa 11 điểm.

giả sử là tứ giác AMON.

Ta tính được AO= $\sqrt{3}$

như vậy b.toán đc c/m

bạn nào cho mik lời giải câu 1 và 2 đi

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B bằng 20 độ, kẻ phấn giác trong BI và trên AB lấy H sao cho góc ACH =30 độ. Tính góc CHI. 

Kẻ đường phân giác CM của góc BCH (M thuộc HB)
Ta đi c/m CM//HI

Theo định lý đường phân giác, ta có:
HM/MB = HC/BC
HM.BC = MB.HC (1*)

Gọi N là trung điểm BC
Tg BCM ~ tg ABN
MB/BC = BN/AB = BC/2AB
MB = BC^2/2AB (2*)

Thay (2*) vào (1*)

HM.BC = BC^2/2AB. HC
=> HM/HC = BC/2AB

Do tg AHC là ½ tg đều => HC =2HA
HM/HC = HM/2HA = BC/2AB
HA/HM = AB/BC (3*)

Lại có AI/IC = AB/BC (do BI là phân giác) (4*)
Từ (3*, 4*) => AI/IC = HA/HM
=> HI//CM
^CHI = ^HCM =^HCB/2 = 20o