FLORA

  Bài 5.(2 điểm) Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc nằm trên cạnh của 1 tam giác đều có cạnh bằng 6cm. Chứng minh rằng có thể vẽ được 1 đường tròn có đường kính bằng $\sqrt{3}$ chứa ít nhất 11 điểm trong số các điểm đã cho.

 

Ta chia tam giác ABC đều làm 4 tam giác đều ADE, DEF, BDF, EFC với D,E,F lần lượt là trung điểm AB, AC, BC

Xét tam giác ADE có O là tâm, kẻ OM, ON, OP vuông góc vs AD, DE, AE . 

C/m tứ giác AMOP, DMON, OPNE nội tiếp

Tương tự với các tam giác còn lại như vậy ta chia tam giác ABC lm 12 tứ giác nội tiếp

Lại có 121= 12 x 10 +1 , theo nguyên lí dirichle thì sẽ có ít nhất 1 trong 12 tứ giác đang xét chứa 11 điểm.

giả sử là tứ giác AMON.

Ta tính được AO= $\sqrt{3}$

như vậy b.toán đc c/m

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B bằng 20 độ, kẻ phấn giác trong BI và trên AB lấy H sao cho góc ACH =30 độ. Tính góc CHI. 

Kẻ đường phân giác CM của góc BCH (M thuộc HB)
Ta đi c/m CM//HI

Theo định lý đường phân giác, ta có:
HM/MB = HC/BC
HM.BC = MB.HC (1*)

Gọi N là trung điểm BC
Tg BCM ~ tg ABN
MB/BC = BN/AB = BC/2AB
MB = BC^2/2AB (2*)

Thay (2*) vào (1*)

HM.BC = BC^2/2AB. HC
=> HM/HC = BC/2AB

Do tg AHC là ½ tg đều => HC =2HA
HM/HC = HM/2HA = BC/2AB
HA/HM = AB/BC (3*)

Lại có AI/IC = AB/BC (do BI là phân giác) (4*)
Từ (3*, 4*) => AI/IC = HA/HM
=> HI//CM
^CHI = ^HCM =^HCB/2 = 20o