Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Bonjour

Đăng ký: 16-08-2014
Offline Đăng nhập: 23-07-2020 - 21:43
****-

#677151 $ f(f(n))+f(n)=6n+4$

Gửi bởi Bonjour trong 12-04-2017 - 01:02

Cho hàm số :$f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa

$ f(f(n))+f(n)=6n+4$

a) Tính $f(2017)$

b) Tìm tất cả các hàm $f$ thỏa mãn.

Giả sử hàm $f$ thõa mãn yêu cầu bài toán. Với $n $ là số tự nhiên bất kì

Ta xét dãy ${x_{n}}$ như sau:

 $x_{0}=n$ và $x_{n+1}=f(x_{n})$

 Thay $n$ bởi $x_{n}$ ta được:

 $x_{n+2}+x_{n+1}-6x_{n}-4=0$

suy ra :$x_{n}=a.(-3)^n+b.2^n-1$

 Mà do $x_{n}=2^{n}(b+a(\frac{-3}{2})^n-\frac{1}{2^n})$

 Xét $a<0$ thì khi chọn $n$ chẵn và đủ lớn ta có $x_{n}$ tiến về âm vô cùng.vô lí

Tương tự xét $a>0$ và chọn $n$ lẻ và đủ lớn cũng có được $x_{n}$ tiến về âm vô cùng ,vô lí

Vậy $a=0$ .Khi đó $x_{n}=b.2^{n}-1$ .Thay $n=0,1$ ta có được $f(n)=2n+1$. Thử lại đúng
vậy $f(n)=2n+1$ và $f(2017)=4035$




#663433 Chứng minh đường thẳng Simson đi qua trung điểm $HM$

Gửi bởi Bonjour trong 29-11-2016 - 23:53

Dễ thấy phép vị tự tâm $M$ tỉ số $2$ biến đường thẳng $Simson$  của điểm $M$ đối với  tam giác  $ABC$ thành đường thẳng $Steiner$ của điểm $M$ đối với tam giác $ABC$




#663251 phân tích đa thức thành nhân tử $B(x)=4(x^2+11x+30)(x^2+22x+120)-3x^2$

Gửi bởi Bonjour trong 28-11-2016 - 00:10

Tìm nghiệm nguyên:

a, x+y+xy=4

b, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=$\frac{1}{2}$ ($x,y \epsilon Z^{+})

a) $\Leftrightarrow (x+1)(y+1)=5$ sau đó xét các ước của $5$ thôi

b) Tương tự, qui đồng lên




#663213 $x^{2}-4y^{2}= 12345...20082009$

Gửi bởi Bonjour trong 27-11-2016 - 18:32

Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^{2}-4y^{2}= 12345...20082009$

$VT$ chia $3$ dư $0$ hoặc $1$ do số chính phương chia $3$ dư $0$ hoặc $1$

$VP$ chia $3$ dư 2 nên PT đã cho vô nghiệm nguyên




#663207 Giải pt vô tỉ

Gửi bởi Bonjour trong 27-11-2016 - 17:55

$PT(1)\Leftrightarrow (6x-x^2-2)(\sqrt{x-1}-1)=x^2+x-6x+x^2+2=2x^2-5x+2$
   $(x-2)(\frac{6x-x^2-2}{\sqrt{x-1}+1}-x+2)=0$ 
Cm cái trong ngoặc khác không nữa là xong.




#663202 CMR: $\sqrt[n]{(n+1)!}\geq 1+\sqrt[n]{...

Gửi bởi Bonjour trong 27-11-2016 - 17:18

Cho $n$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng:

$\sqrt[n]{(n+1)!}\geq 1+\sqrt[n]{n!}$

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$(n+1)!\geq (1+\sqrt[n]{n!})^n$

$\Leftrightarrow (1+1)(1+2)(1+3)...(1+n)\geq (\sqrt[n]{1}+\sqrt[n]{n!})^n$




#663081 phân tích đa thức thành nhân tử $B(x)=4(x^2+11x+30)(x^2+22x+120)-3x^2$

Gửi bởi Bonjour trong 26-11-2016 - 00:00

$B(x)=4(x^2+11x+30)(x^2+22x+120)-3x^2$

$B(x)=(2x+15)(x+8)(2x^2+35x+120)$  :)




#663080 $\left\{\begin{matrix} xy-y^2=\sqrt...

Gửi bởi Bonjour trong 25-11-2016 - 23:50

1. $\left\{\begin{matrix} xy-y^2=\sqrt{3y-1}-\sqrt{x+2y-1}\\ x^3y-4xy^2+7xy-5x-y+2=0 \end{matrix}\right.$

 

$PT(1)\Leftrightarrow (x-y)(y+\frac{1}{\sqrt{3y-1}+\sqrt{x+2y-1}})=0$

Mà $y+\frac{1}{\sqrt{3y-1}+\sqrt{x+2y-1}}>0$ với mọi $x,y$ thuộc tập xác định nên $x=y$ ,thay vào $PT(2)$ :

$\Rightarrow x^4-4x^3+7x^2-6x+2=0$

$\Leftrightarrow (x-1)^2(x^2-2x+2)=0$
Vậy $x=1=y$




#663076 CMR: $4x_{n+2}x_{n}+1$ la SCP

Gửi bởi Bonjour trong 25-11-2016 - 23:36

Cho dãy số $x_{1}, x_{2}, x_{3},...$

$x_{1}=1, x_{2}=3, x_{n+2}=2x_{n+1}-x_{n}+1$

CMR: $4x_{n+2}x_{n}+1$ la SCP

Bằng qui nạp bạn tự chứng minh được: $x_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$

$\Rightarrow 4x_{n+2}x_{n}+1=(n+2)(n+3)n(n+1)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)-1=(n^2+3n+1)^2$




#662870 $\left\{\begin{matrix} &x^3+2x^2=5-2y...

Gửi bởi Bonjour trong 24-11-2016 - 01:01

Giải hệ $\left\{\begin{matrix} &x^3+2x^2=5-2y & \\ & (15-2x)\sqrt{6-x}-(4y+9)\sqrt{2y+3}=0 & \end{matrix}\right.$

Xét hàm phương trình hai , hàm $f(t)=\sqrt{t}(2t+3)   (t\geq 0)$ dễ thấy $f(t)$ là hàm tăng trên $R^{+}$ nên $6-x=2y+3$ ,sau đó thế thẳng vào phương trình 1




#662867 tính $Q=C_{n}^{1}+2\frac{C_{n}^...

Gửi bởi Bonjour trong 23-11-2016 - 23:49

tính $Q=C_{n}^{1}+2\frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{1}}+...+k\frac{C_{n}^{k}}{C_{n}^{k-1}}+...+n\frac{C_{n}^{n}}{C_{2}^{n-1}}$

Lạy  Chúa mới làm chiều nay đây mà
Ta có 
     $k\frac{C_{n}^{k}}{C_{n}^{k-1}}=k\frac{\frac{n!}{k!(n-k)!}}{\frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!}}=n-k+1$

nên :

$Q=n+(n-1)+(n-2)+...+(n-k+1)+...+(n-(n-1))=n^2-(1+2+...+n-1)$

                                                                  $=n^2-\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}$




#662512 Có bao nhiêu bộ 3 số nguyên không âm (a,b,c) mà a+b+c=300

Gửi bởi Bonjour trong 20-11-2016 - 13:21

Có bao nhiêu bộ 3 số nguyên không âm (a,b,c) mà a+b+c=300

Đây là bài toán chia kẹo $Euler$

với yêu cầu điều kiện các số nguyên không âm như trên thì phương trình $x_{1}+x_{2}C+...+x_{n}=m$ có $C_{m+n-1}^{n-1}$ bộ nghiệm .Chứng minh bằng kĩ thuật song ánh và tổ hợp

có tất cả $C_{300+3-1}^{3-1}$ bộ nghiệm




#662508 Chứng minh rằng: $P$ là trung điểm $ME$

Gửi bởi Bonjour trong 20-11-2016 - 11:55

Cho đường tròn tâm $O$ và đường thẳng $d$ cắt đường tròn tâm $O$ tại hai điểm $B, C$ ( $d$ không đi qua $O$). Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $A$ ( $A$ nằm ngoài đường tròn tâm $O$). Kẻ $AM$ và $AN$ là các tiếp tuyến với đường tròn tâm $O$ ($M$ và $N$ là tiếp điểm ). Gọi $I$ là trung điểm của $BC, AO$ cắt $MN$ tại $H$ và cắt đường tròn tại các điểm $P$ và $Q$ ( $P$ nằm giữa $A$ và $O$), $BC$ cắt $MN$ tại $K$.

a) Chứng minh $4$ điểm $O, M, N, I$ cùng nằm trên một đường tròn và $AK.AI=AM^2$

b) Gọi $D$ là trung điểm $HQ$, từ $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $MD$ cắt đường thẳng $MP$ tại $E$.

Chứng minh rằng: $P$ là trung điểm $ME$. 

a dễ rồi còn b:

 $HE$ cắt $MD$ tại $G$ , $J$ là trung điểm $GQ$

Dễ thấy $HD^2=DG.DM$ mà $HD=DQ$ nên $\Delta DQG\sim \Delta DMQ$

Suy ra $\widehat{DQG}=\widehat{DMQ}=\widehat{MEH}$ và $\widehat{EHM}=90^{\circ}-\widehat{MHG}=90^{\circ}-\widehat{MDH}=\widehat{MDQ}$

Mặt khác $GD$ vuông $DJ$ nên chứng minh được $\Delta DGI\sim \Delta HMP$

từ đó $PH$ là trung tuyến của tam giác $HME$ cũng tương ứng với trung tuyến của tam giác $GDQ$




#662472 MO vuông góc EF

Gửi bởi Bonjour trong 20-11-2016 - 00:23

Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Cát tuyến qua B cắt (O1và (O2) lần lượt tại C,D(B nằm giữa C,D). Đường thẳng MC cắt (O1) tại P khác C. Đường thẳng MD cắt (O2) tại Q khác D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, E là giao điểm của PB và AC, F là giao điểm của QB và AD. Chứng minh MO vuông góc EF

Trước tiên có bổ đề :

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$ có $AB\cap CD=E ,BC\cap DA=F,AC\cap BD=I$ thì 

    $EF^2=\textit{P}_{E/(O)}+P_{F/(O)}$

    $EI^2=\textit{P}_{E/(O)}+P_{I/(O)}$

    $FI^2=\textit{P}_{F/(O)}+P_{I/(O)}$ 

Trở lại bài toán thì $ME^2-MF^2=P_{M/(O1)}+P_{E/(O1)}-P_{M/(O2)}-P_{F/(O2)}=P_{E/(O1)}-P_{F/(O2)}$

 Mà $(O1)$ và $(ADC)$ có trục đẳng phương là $CA$ mà $E$ nằm trên đó nên $P_{E/(O1)}=P_{E/(ADC)}$

Tương tự thì $P_{F/(O2)}=P_{F/(ADC)}$ nên $P_{E/(O1)}-P_{F/(O2)}=OE^2-OF^2$

Do đó $ME^2-MF^2=OE^2-OF^2$ đpcm




#661979 1 TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG TRÒN MIXTILINEAR

Gửi bởi Bonjour trong 15-11-2016 - 00:55

Với $S$ là điểm $Spieker$ của tam giác $ABC$ thì cũng có kết quả $(I,S,G,N)=-1$