Đến nội dung

Bonjour

Bonjour

Đăng ký: 16-08-2014
Offline Đăng nhập: 23-01-2019 - 15:21
****-

#677151 $ f(f(n))+f(n)=6n+4$

Gửi bởi Bonjour trong 12-04-2017 - 01:02

Cho hàm số :$f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa

$ f(f(n))+f(n)=6n+4$

a) Tính $f(2017)$

b) Tìm tất cả các hàm $f$ thỏa mãn.

Giả sử hàm $f$ thõa mãn yêu cầu bài toán. Với $n $ là số tự nhiên bất kì

Ta xét dãy ${x_{n}}$ như sau:

 $x_{0}=n$ và $x_{n+1}=f(x_{n})$

 Thay $n$ bởi $x_{n}$ ta được:

 $x_{n+2}+x_{n+1}-6x_{n}-4=0$

suy ra :$x_{n}=a.(-3)^n+b.2^n-1$

 Mà do $x_{n}=2^{n}(b+a(\frac{-3}{2})^n-\frac{1}{2^n})$

 Xét $a<0$ thì khi chọn $n$ chẵn và đủ lớn ta có $x_{n}$ tiến về âm vô cùng.vô lí

Tương tự xét $a>0$ và chọn $n$ lẻ và đủ lớn cũng có được $x_{n}$ tiến về âm vô cùng ,vô lí

Vậy $a=0$ .Khi đó $x_{n}=b.2^{n}-1$ .Thay $n=0,1$ ta có được $f(n)=2n+1$. Thử lại đúng
vậy $f(n)=2n+1$ và $f(2017)=4035$




#663433 Chứng minh đường thẳng Simson đi qua trung điểm $HM$

Gửi bởi Bonjour trong 29-11-2016 - 23:53

Dễ thấy phép vị tự tâm $M$ tỉ số $2$ biến đường thẳng $Simson$  của điểm $M$ đối với  tam giác  $ABC$ thành đường thẳng $Steiner$ của điểm $M$ đối với tam giác $ABC$




#663251 phân tích đa thức thành nhân tử $B(x)=4(x^2+11x+30)(x^2+22x+120)-3x^2$

Gửi bởi Bonjour trong 28-11-2016 - 00:10

Tìm nghiệm nguyên:

a, x+y+xy=4

b, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=$\frac{1}{2}$ ($x,y \epsilon Z^{+})

a) $\Leftrightarrow (x+1)(y+1)=5$ sau đó xét các ước của $5$ thôi

b) Tương tự, qui đồng lên




#663213 $x^{2}-4y^{2}= 12345...20082009$

Gửi bởi Bonjour trong 27-11-2016 - 18:32

Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^{2}-4y^{2}= 12345...20082009$

$VT$ chia $3$ dư $0$ hoặc $1$ do số chính phương chia $3$ dư $0$ hoặc $1$

$VP$ chia $3$ dư 2 nên PT đã cho vô nghiệm nguyên




#663207 Giải pt vô tỉ

Gửi bởi Bonjour trong 27-11-2016 - 17:55

$PT(1)\Leftrightarrow (6x-x^2-2)(\sqrt{x-1}-1)=x^2+x-6x+x^2+2=2x^2-5x+2$
   $(x-2)(\frac{6x-x^2-2}{\sqrt{x-1}+1}-x+2)=0$ 
Cm cái trong ngoặc khác không nữa là xong.




#663202 CMR: $\sqrt[n]{(n+1)!}\geq 1+\sqrt[n]{...

Gửi bởi Bonjour trong 27-11-2016 - 17:18

Cho $n$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng:

$\sqrt[n]{(n+1)!}\geq 1+\sqrt[n]{n!}$

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$(n+1)!\geq (1+\sqrt[n]{n!})^n$

$\Leftrightarrow (1+1)(1+2)(1+3)...(1+n)\geq (\sqrt[n]{1}+\sqrt[n]{n!})^n$




#663081 phân tích đa thức thành nhân tử $B(x)=4(x^2+11x+30)(x^2+22x+120)-3x^2$

Gửi bởi Bonjour trong 26-11-2016 - 00:00

$B(x)=4(x^2+11x+30)(x^2+22x+120)-3x^2$

$B(x)=(2x+15)(x+8)(2x^2+35x+120)$  :)




#663080 $\left\{\begin{matrix} xy-y^2=\sqrt...

Gửi bởi Bonjour trong 25-11-2016 - 23:50

1. $\left\{\begin{matrix} xy-y^2=\sqrt{3y-1}-\sqrt{x+2y-1}\\ x^3y-4xy^2+7xy-5x-y+2=0 \end{matrix}\right.$

 

$PT(1)\Leftrightarrow (x-y)(y+\frac{1}{\sqrt{3y-1}+\sqrt{x+2y-1}})=0$

Mà $y+\frac{1}{\sqrt{3y-1}+\sqrt{x+2y-1}}>0$ với mọi $x,y$ thuộc tập xác định nên $x=y$ ,thay vào $PT(2)$ :

$\Rightarrow x^4-4x^3+7x^2-6x+2=0$

$\Leftrightarrow (x-1)^2(x^2-2x+2)=0$
Vậy $x=1=y$




#663076 CMR: $4x_{n+2}x_{n}+1$ la SCP

Gửi bởi Bonjour trong 25-11-2016 - 23:36

Cho dãy số $x_{1}, x_{2}, x_{3},...$

$x_{1}=1, x_{2}=3, x_{n+2}=2x_{n+1}-x_{n}+1$

CMR: $4x_{n+2}x_{n}+1$ la SCP

Bằng qui nạp bạn tự chứng minh được: $x_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$

$\Rightarrow 4x_{n+2}x_{n}+1=(n+2)(n+3)n(n+1)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)-1=(n^2+3n+1)^2$




#662870 $\left\{\begin{matrix} &x^3+2x^2=5-2y...

Gửi bởi Bonjour trong 24-11-2016 - 01:01

Giải hệ $\left\{\begin{matrix} &x^3+2x^2=5-2y & \\ & (15-2x)\sqrt{6-x}-(4y+9)\sqrt{2y+3}=0 & \end{matrix}\right.$

Xét hàm phương trình hai , hàm $f(t)=\sqrt{t}(2t+3)   (t\geq 0)$ dễ thấy $f(t)$ là hàm tăng trên $R^{+}$ nên $6-x=2y+3$ ,sau đó thế thẳng vào phương trình 1




#662867 tính $Q=C_{n}^{1}+2\frac{C_{n}^...

Gửi bởi Bonjour trong 23-11-2016 - 23:49

tính $Q=C_{n}^{1}+2\frac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{1}}+...+k\frac{C_{n}^{k}}{C_{n}^{k-1}}+...+n\frac{C_{n}^{n}}{C_{2}^{n-1}}$

Lạy  Chúa mới làm chiều nay đây mà
Ta có 
     $k\frac{C_{n}^{k}}{C_{n}^{k-1}}=k\frac{\frac{n!}{k!(n-k)!}}{\frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!}}=n-k+1$

nên :

$Q=n+(n-1)+(n-2)+...+(n-k+1)+...+(n-(n-1))=n^2-(1+2+...+n-1)$

                                                                  $=n^2-\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}$




#662512 Có bao nhiêu bộ 3 số nguyên không âm (a,b,c) mà a+b+c=300

Gửi bởi Bonjour trong 20-11-2016 - 13:21

Có bao nhiêu bộ 3 số nguyên không âm (a,b,c) mà a+b+c=300

Đây là bài toán chia kẹo $Euler$

với yêu cầu điều kiện các số nguyên không âm như trên thì phương trình $x_{1}+x_{2}C+...+x_{n}=m$ có $C_{m+n-1}^{n-1}$ bộ nghiệm .Chứng minh bằng kĩ thuật song ánh và tổ hợp

có tất cả $C_{300+3-1}^{3-1}$ bộ nghiệm




#662508 Chứng minh rằng: $P$ là trung điểm $ME$

Gửi bởi Bonjour trong 20-11-2016 - 11:55

Cho đường tròn tâm $O$ và đường thẳng $d$ cắt đường tròn tâm $O$ tại hai điểm $B, C$ ( $d$ không đi qua $O$). Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $A$ ( $A$ nằm ngoài đường tròn tâm $O$). Kẻ $AM$ và $AN$ là các tiếp tuyến với đường tròn tâm $O$ ($M$ và $N$ là tiếp điểm ). Gọi $I$ là trung điểm của $BC, AO$ cắt $MN$ tại $H$ và cắt đường tròn tại các điểm $P$ và $Q$ ( $P$ nằm giữa $A$ và $O$), $BC$ cắt $MN$ tại $K$.

a) Chứng minh $4$ điểm $O, M, N, I$ cùng nằm trên một đường tròn và $AK.AI=AM^2$

b) Gọi $D$ là trung điểm $HQ$, từ $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $MD$ cắt đường thẳng $MP$ tại $E$.

Chứng minh rằng: $P$ là trung điểm $ME$. 

a dễ rồi còn b:

 $HE$ cắt $MD$ tại $G$ , $J$ là trung điểm $GQ$

Dễ thấy $HD^2=DG.DM$ mà $HD=DQ$ nên $\Delta DQG\sim \Delta DMQ$

Suy ra $\widehat{DQG}=\widehat{DMQ}=\widehat{MEH}$ và $\widehat{EHM}=90^{\circ}-\widehat{MHG}=90^{\circ}-\widehat{MDH}=\widehat{MDQ}$

Mặt khác $GD$ vuông $DJ$ nên chứng minh được $\Delta DGI\sim \Delta HMP$

từ đó $PH$ là trung tuyến của tam giác $HME$ cũng tương ứng với trung tuyến của tam giác $GDQ$




#662472 MO vuông góc EF

Gửi bởi Bonjour trong 20-11-2016 - 00:23

Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Cát tuyến qua B cắt (O1và (O2) lần lượt tại C,D(B nằm giữa C,D). Đường thẳng MC cắt (O1) tại P khác C. Đường thẳng MD cắt (O2) tại Q khác D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, E là giao điểm của PB và AC, F là giao điểm của QB và AD. Chứng minh MO vuông góc EF

Trước tiên có bổ đề :

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$ có $AB\cap CD=E ,BC\cap DA=F,AC\cap BD=I$ thì 

    $EF^2=\textit{P}_{E/(O)}+P_{F/(O)}$

    $EI^2=\textit{P}_{E/(O)}+P_{I/(O)}$

    $FI^2=\textit{P}_{F/(O)}+P_{I/(O)}$ 

Trở lại bài toán thì $ME^2-MF^2=P_{M/(O1)}+P_{E/(O1)}-P_{M/(O2)}-P_{F/(O2)}=P_{E/(O1)}-P_{F/(O2)}$

 Mà $(O1)$ và $(ADC)$ có trục đẳng phương là $CA$ mà $E$ nằm trên đó nên $P_{E/(O1)}=P_{E/(ADC)}$

Tương tự thì $P_{F/(O2)}=P_{F/(ADC)}$ nên $P_{E/(O1)}-P_{F/(O2)}=OE^2-OF^2$

Do đó $ME^2-MF^2=OE^2-OF^2$ đpcm




#661979 1 TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG TRÒN MIXTILINEAR

Gửi bởi Bonjour trong 15-11-2016 - 00:55

Với $S$ là điểm $Spieker$ của tam giác $ABC$ thì cũng có kết quả $(I,S,G,N)=-1$