Đến nội dung

Zurnie

Zurnie

Đăng ký: 18-08-2014
Offline Đăng nhập: 12-05-2015 - 16:21
-----

#531108 CM $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}...

Gửi bởi Zurnie trong 29-10-2014 - 20:19

cho a,b,c >0 và $\sum a^{2}=3$ 

CM $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3} <=\frac{1}{2}$

Ta có: $a^{2}+1\geq 2a; b^{2}+1\geq 2b; c^{2}+1\geq 2c$

suy ra $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \sum \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{a}{a+b+1} \right )$

CM $\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1$

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schawars ta có: 

$\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{\left ( b+1 \right )^{2}}{\left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )}\geq \frac{\left ( a+b+c+3 \right )^{2}}{\sum \left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )}$

Mà $\sum a^{2}=3$ nên ta có: $\sum \left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )= 3\left ( a+b+c \right )+\sum ab+\sum a^{2}+3= \frac{1}{2}\left ( a+b+c+3 \right )^{2}$ 

suy ra: $\sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$ suy ra đpcm




#531107 CM $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}...

Gửi bởi Zurnie trong 29-10-2014 - 20:17

cho a,b,c >0 và $\sum a^{2}=3$ 

CM $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3} <=\frac{1}{2}$

Ta có: $a^{2}+1\geq 2a; b^{2}+1\geq 2b; c^{2}+1\geq 2c$

suy ra $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \sum \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{a}{a+b+1} \right )$

CM $\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1$

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schawars ta có: 

$\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{\left ( b+1 \right )^{2}}{\left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )}\geq \frac{\left ( a+b+c+3 \right )^{2}}{\sum \left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )}$

Mà $\sum a^{2}=3$ nên ta có: $\sum \left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )= 3\left ( a+b+c \right )+\sum ab+\sum a^{2}+3= \frac{1}{2}\left ( a+b+c+3 \right )^{2}$ 

suy ra: $\sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$ suy ra đpcm




#521764 MinP=$\frac{b+c+5}{a+1}+\frac{c+a+4...

Gửi bởi Zurnie trong 28-08-2014 - 22:50

B1, Cho a,b,c>0 và a+b+c=6

Tìm MinP=$\frac{b+c+5}{a+1}+\frac{c+a+4}{b+2}+\frac{a+b+3}{c+3}$

B2, Cho a,b,c>0

Tìm MaxP=$\sum \frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}$

B3, Cho x,y,z,t>0

       x+y+z+t=2

Tìm MinP=$\frac{(x+y+z)\left ( x+y \right )}{xyzt}$

B4, Cho x,y,z>0 và xy+yz+zx=1

Tìm MinP=$\sum \frac{x}{\sqrt{3}y+yz}$




#521742 MinP=$\sum \sqrt[3]{4\left ( x^{3}+y^...

Gửi bởi Zurnie trong 28-08-2014 - 22:06

Áp dụng BĐT là $a^3+b^3\geqslant ab(a+b)$ suy ra $4(a^3+b^3)\geqslant a^3+b^3+3abc(a+b)=(a+b)^3$

 

Do đó áp dụng BĐT $AM-GM$ có

 

$P\geqslant 2(x+y+z+\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2})\geqslant 2.6\sqrt[6]{1}=12$

 

Dấu $=$ khi $a=b=c=1$

phải là a^3+b^3+3ab(a+b)=(a+b)^3$ chứ ạ?




#521739 MinA=$\sum x^{4}.\sum \frac{1}{x...

Gửi bởi Zurnie trong 28-08-2014 - 21:59

B13, Cho $\sum \frac{8-x^{4}}{16+x^{4}}$$\geq 0$

Tìm Max-MinA=xyz

B14, Cho a,b,c>0

                $\sum a^{2}=4\sqrt{abc}$

CMR : a+b+c$\geq \frac{9}{4}\sqrt{abc}$ 

Ai làm được thì giúp nhe @};-




#521729 MinP=$\sum \sqrt[3]{4\left ( x^{3}+y^...

Gửi bởi Zurnie trong 28-08-2014 - 21:42

Cho x,y,z>0

Tìm MinP=$\sum \sqrt[3]{4\left ( x^{3}+y^{3} \right )}+2\left ( \sum \frac{x}{y^{2}} \right )$




#521576 MinA=$\sum x^{4}.\sum \frac{1}{x...

Gửi bởi Zurnie trong 27-08-2014 - 22:10

B1 , Cho x,y,z>0 và  x+y$\leq$z

Tìm MinA=$\sum x^{4}.\sum \frac{1}{x^{4}}$

B2,Cho x,y,z>0 và x+y+z=1

Tìm MinA=$\sum \frac{x^{4}}{\left ( x^{2}+ y^{2} \right)\left ( x+  y\right)}$

B3,Cho a,b,c>0 và thỏa mãn : $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$

Tìm MaxP=abc

B4,Cho 0<a,b,c<1 và thỏa mãn :ab+bc+ca=1

Tìm MaxP=$\frac{a^{2}\left ( 1-2b \right )}{b}+ \frac{b^{2}\left ( 1-2c \right )}{c}+\frac{c^{2}\left ( 1-2a \right )}{a}$.

B5,Cho a,b,c>0 và thỏa mãn  $a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=\frac{4}{3}$

Tìm MinB=a+b+c

B6, Cho x,y,z>0 và thỏa mãn   x+y+z=1

Tìm MinP=$\left ( x+2y+3z \right )\left ( 6x+3y+2z \right )$

B7, Cho a,b,c>0 và thỏa mãn  a+b+c=1

Tìm MinA=$\frac{9}{1-2\left ( ab+bc+ca \right )}+\frac{2}{abc}$

B8,Cho x,y,z>0 và thỏa mãn x+y+z=3

Tìm MinA= $\frac{x^{2}}{x+y^{2}}+\frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$

B9, Cho x,y,z>0 và thỏa mãn $2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=1$

Tìm MinA= $\frac{3yz}{x}+\frac{4zx}{y}+\frac{5xy}{z}$

B10,Cho 0<x,y,z<1 và thỏa mãn xy+yz+zx+xyz=1

Tìm MaxP=$\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}$

B11, Cho a,b,c>1

CMR: $\frac{a}{\sqrt{b}-1}+\frac{b}{\sqrt{c}-1}+\frac{c}{\sqrt{a}-1}$$\geq 12$

B12, Cho x,y,z>0 và x+y+z=3

Tìm MinP= $\frac{x^{2}+yz}{xz+y}+\frac{y^{2}+zx}{xy+z}+\frac{z^{2}+xy}{yz+x}$

 

 

 

 

@MOD : Những bài toán có chung chủ để bạn nên gộp lại làm một , không nên đăng nhiều bài cùng chủ đề trong cùng một khoảng thời gian như thế nhé 




#521216 MinA=$\sum \sqrt{\frac{\left ( 3-x) \...

Gửi bởi Zurnie trong 25-08-2014 - 17:19

Cho x+y+z=3

       x,y,z>0

Tìm MinA=$\sum \sqrt{\frac{\left ( 3-x) \right (3-y)}{z}}$