Dung Du Duong

Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia Tỉnh Hải Dương 2015-2016

(thời gian: 180 phút)

Câu I:(5 điểm)

   Cho dãy số {$y_n$} thỏa mãn: $y_{1}>0, y^2_{n+1}=y_{1}+y_{2}+...+y_{n}$ với $n \geq 1$. CMR: dãy số {$\frac{y_{n}}{n}$} có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Câu II:(6 điểm)

   1, Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Một đường tròn tiếp xúc với tia AB,AC lần lượt tại E và F, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại T. Tiếp tuyến tại A và T với (O) cắt nhau tại K. Đường thẳng TE cắt (O) tại điểm M khác T. CMR: K,M,N thẳng hàng.

   2, Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) có đường kính AC vuông góc với BD tại điểm H. Gọi I,J,K,L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các đường thẳng AB,BC,CD,DA. Biết IK và JL đều không đi qua H. CMR: giao điểm của IK và JL nằm trên OH.

Câu III:(4 điểm)

   Cho số nguyên dương m và số nguyên tố p với p>m. CMR: số các số nguyên dương n sao cho đa thức $f(x)=mx^2 - (m + n - p)x + n$ có nghiệm hữu tỉ bằng số ước nguyên dương của m.

Câu IV:(5 điểm)

   Cho một dãy 2016 ô vuông kề nhau xếp thành một hàng dài. Có bao nhiêu cách điền các số 1,2,3,4,5 vào các ô vuông đó sao cho mỗi ô vuông chỉ điền một số và hiệu hai số trong hai ô kề nhau chỉ nhận giá trị là 1 hoặc -1.

Đề thi HSG lớp 12 vòng 1 tỉnh Hải Dương năm học 2015-2016

(thời gian:180 phút)

Câu I: 

   1, Cho hàm số $y=x^{3}-3(1-2m)x-2$. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại đúng 1 điểm

   2, Cho hàm số $y=x^4-2(m+1)x^2+2$. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm $M(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2})$

Câu II:

   1, Giải hệ phương trình: $3x^2-2x-5+2x\sqrt{x^2+1}=2(y+1)\sqrt{y^2+2y+2}$

                                       $2x-4y+3=x^2+2y^2$   

   2, Giải bất phương trình: $2+3\sqrt{x^2+x}.\sqrt{x-2} \leq 2(x^2-3x)$

Câu III: 

   1, Có 2 hộp đựng bi, mỗi viên bi chỉ mang 1 màu trắng hoặc đen.Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp đúng 1 viên bi

        a, Biết rằng hộp thứ nhất có 20 viên bi, trong đó có 7 viên đen. Hộp thứ 2 có 15 viên bi trong đó có 10 bi đen. Tính xác suất để lấy được 2 viên bi đen

        b, Biết tổng số bi ở 2 hộp là 20 và xác suất để lấy được 2 viên đen là $\frac{55}{84}$.Tính xác suất để lấy được 2 viên trắng

   2, Cho dãy số $U_{n}$ thỏa mãn: $U_{1}=-1$; $U_{n+1}=\frac{U_{n}}{2}+\frac{2}{U_{n}}$ (với n nguyên dương) và dãy số $V_{n}$ thỏa mãn: $U_{n}V_{n}-U_{n}+2V_{n}+2=0$. Tính $V_{n}$ và lim$U_{n}$

Câu IV: 

   1, Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc BAD=120 độ, BD=a>0, cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD), góc giữa mp(SCB) và (ABCD)=60 độ, Điểm K thay đổi trên đoạn SC.

        a, Tìm các vị trí của K sao cho tam giác BKD lần lượt có diện tích nhỏ nhất , lớn nhất.

        b, Khi K là điểm sao cho diện tích tam giác BKD nhỏ nhất. Tính tỉ số thể tích 2 khối đa diện do mặt phẳng (BKD) chia khối chóp S.ABCD

   2, Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB=AA'=a. Điểm M thay đổi trên đường thẳng AB sao cho mặt phẳng qua M, vuông góc với AB cắt đường thẳng BC' tại điểm N trên BC'. Xác định vị trí của M để biểu thức $2AM^2+MN^2$ min

Câu V:

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1.CMR:

$\frac{b^2}{(ab+2)(2ab+2)}+\frac{c^2}{(bc+2)(2bc+2)}+\frac{a^2}{(ac+2)(2ac+2)} \geq \frac{1}{3}$

Cho tứ giác ABCD thỏa mãn $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=\widehat{BCD}$. Gọi I,J là tâm đường trong nội tiếp $\Delta$ ABC và $\Delta$ ACD.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ ABC CMR: I,J,O thẳng hàng

 

 

Có cách nào làm theo kiểu lớp 11 phép biến hình không bạn

Bài này dễ ko cần phải biến hình đâu bạn, cho phức tạp ra   

Cho hình vuông MNPQ cạnh a, K thuộc MN, H thuộc MP sao cho KH song song NP. Tìm K, H để OK+KH+HN min. Tính trị trị nhỏ nhất đó

Làm thế này nha bạn

Lấy G là trung điểm MN.

Ta có: tứ giác OKNH nội tiếp (do 2 góc =90 độ)

==> $\frac{OK}{HN}=\frac{MO}{MN}=\frac{\sqrt{2}}{2} ==> HN=\sqrt{2}OK$

Lại có OK $\geq$ OG do tam giác OGK vuông tại G

Và tại K trùng với G thì KH min = 0 nên ta có:

OK+KH+HN $\geq (1+\sqrt{2})OG =\frac{a}{2}(1+\sqrt{2})$

tại K là trung điểm MN và H trùng với O!

Cho hình vuông MNPQ cạnh a, K thuộc MN, H thuộc MP sao cho KH song song NP. Tìm K, H để OK+KH+HN min. Tính trị trị nhỏ nhất đó

Đây là điểm Q, hay là giao 2 đường chéo hả bạn??

Cho hình chóp SABCD. Trên SA, SB lấy các điểm M, N sao cho SM=2SA, NB=2NS. Gọi trung điểm DC là Q. Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (MNQ)

Bạn tự vẽ hình hộ mình nhé:

Trước hết ta có thể xác định điểm M nằm ngoài SA và N thuộc đoạn SB

Có M,N thuộc cùng mp(SAB) nên ta nối M và N cắt AB tại G ==> được điểm thứ nhất  (1)

Tiếp theo ta xác định giao điểm với SC

hay chính là xác định mp(MNQ) giao với mp(SBC) 

có N là giao điểm thứ nhất rồi, Kéo dài GQ cắt BC tại K (do GQ đồng phẳng với BC)

Kẻ NK cắt SC tại H ==> được điểm thứ hai(2)

Từ (1) và (2) ==> thiết diện 

Ngoài ra ta còn tính được $AG=\frac{BG}{4}$ do áp dụng Menelauys vào tam giác SAB có M,G,N thẳng hàng   

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O ; R) sao cho OM = 2R, vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là hai tiếp điểm). Từ điểm I bất kì trên cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O ; R) cắt MA, MB lần lượt tại P và Q. Tính diện tích tam giác MPQ theo R.

Có: góc MOA =60 độ ==> $S_{MAO}=\sqrt{3}R^2$

$S_{MPQ}=S_{MAOB} - S_{APQBO}=2.S_{MAO} - 2.S_{OPQ}=2\sqrt{3}R^2 - OP.OQ.sinPOQ=2\sqrt{3}R^2 - \frac{\sqrt{3}}{2}OP.OQ$                                                                                                   (1)

Bây giờ ta đi tính OP.OQ.

Đặt góc IOA=a, IOB=b

$OP.OQ=\frac{R}{cosIOQ}.\frac{R}{cosIOP}=\frac{R^2}{cos\frac{a}{2}.cos\frac{b}{2}}$ (2)

Thay (2) vào (1) ta đc diện tích MPQ (phụ thuộc vào cả 2 góc IOA và IOB, không chỉ là R) 

Cho tam giác với độ dài ba cạnh lần lượt là a,b,c có chu vi bằng 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

 

    A= a^3 +b^3 +c^3 +((căn 5))abc

Đây là bài trên THTT số tháng 9 vừa rồi   

Bạn nên nhờ MOD khóa topic này lại đi

mình cx ko nhớ lắm về USAMO-2003 ở đâu

hình như ở trong này, quan trọng là biết đc hướng làm

Bạn chuyển vế phải sang <==> $\sum\frac{(2a-b-c)(2a+b+c)}{9(5^2+(b+c)^2}$

Tách (2a+b+c)=(a+b)+(a+c) sau đó tách tiếp từng hạng tử rồi nhóm có chung (a+b);(b+c);(c+a) rồi phân tích tiếp theo SOS hoi 

Với a,b,c $\geq$ 0 và không có bất kì 2 số nào đồng thời bằng 0 . CMR : 

$\frac{a^2}{5a^2+(b+c)^2} + \frac{b^2}{5a^2+(b+c)^2} + \frac{c^2}{5c^2 +(a+b)^2} \leq \frac{1}{3}$

Bài này nhang nhác bài USAMO-2003

Cơ mà cx dùng S-O-S đó bạn 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên cung nhỏ $AC$ lấy điểm $M$ bất kì. Từ $M$ hạt $MD \bot AC$ và $ME \bot BC$. Gọi $K$ là trung điểm $DE$, $N$ là trung điểm $AB$. Chứng minh rằng $KM \bot KN$.

Bạn tự vẽ hình hộ mình nhé  mình cx nói ngắn gọn hoi 

Dễ thấy DE là đường thẳng Simpson của M với tam giác ABC

Gọi MF $\bot$ AB ==> E,F,D thẳng hàng

==> CM: tứ giác MFNK nội tiếp

<==> góc FNM=FKM

<==> tam giác MAN đồng dạng MDK  <==> tam giác MAB đồng dạng MDE <==> góc MAB=MDE và góc MBA=FEM (hiển nhiên đúng)

==> đpcm

xin tài liệu ôn hình thi 30/4       

Bạn có thể tham khảo:   

Hoặc là của bạn này đầy đủ hơn nè 

Ở đây

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). AB giao CD tại K; AC giao BD tại H; AD giao BC tại E. EH cắt AB, CD tại F1, F2. Gọi M,N là trung điểm của AB, CD. MN cắt EH tại P. Chứng minh: IE=IH

Điểm I ở đâu vậy bạn 

đây là điểm P pk? 

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), 2 đường chéo cắt nhau tại I, gọi M là giao của (AOB) và (COD), N là giao của (AOD) và (BOC)

CMR: M,I,O,N đồng viên

https://fbcdn-sphoto...d761a609d02dc20

Cách 2: Dùng cực và đối cực (bạn tự vẽ hình nha )

Kéo dài AB và CD cắt nhau tại J, kẻ đường kính JO cắt (O) tại P và Q

Có JP.JQ=JA.JB=JM.JO (theo các tứ giác nội tiếp)

==> Áp dụng hệ thức Maclaurin về hàng điểm điều hòa

==> (JOPQ)= -1

==> M thuộc đường đối cực của J với (O)                         (1)

Mà ta có I thuộc đường đối cực của J với (O) (cơ bản)    (2)

Nên từ (1) và (2) ==> IM $\bot$ OM

CMTT: IN $\bot$ ON

==> tứ giác nội tiếp   (đpcm)

P/s: đây là 1 bài cơ bản áp dụng đối cực  

     Bạn Duong Nhi có cách này mình chưa thấy bao h