Dung Du Duong

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), P là 1 điểm bất kì thuộc cung AC và kẻ PX vuông góc với BC. Gọi H là trực tâm tam giác ABC, đường thẳng AH giao với đường thẳng Simpson từ P xuống tam giác ABC là M.

CMR: tứ giác MPXH là hình bình hành

Đây là bổ đề quan trọng nhất của bài này  

Cho đường tròn (O) đường kính AB. C là 1 điểm nằm trên AB và ở ngoài (O). Kẻ cát tuyến CDE. Ò là đường kính của tam giác ngoại tiếp BOD có tâm là $O_{1}$. Đường thẳng CF cắt lại $(O_{1})$ tại G. CM O, A, E, G cùng thuộc một đường tròn.

đây là OF pk bạn ??

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm thay đổi trên cung BC. N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và NAB. Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng NK và AB, E là hình chiếu vuông góc của K trên BC. Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm của HK

Mình ns ngắn gọn hoi nha:  

Bài toán này ko khó, quan trọng là nhìn ra được hình quen thuộc:

Ta dễ dàng CM được K thuộc (O) 

kéo dài DE - đây chính là đường thẳng Simpson của điểm K với tam giác ABC cắt AH tại P

Đến đây đưa về bài toán tính chất của Simpson để có tứ giác KPHE là hình bình hành (cơ mà CM cx ko dễ đâu   )

==> 2 đường chéo...==> đpcm   

Thanks bạn

Cơ mà bài này ở chỗ nào vậy     

sau đó biến đổi $a_{2n}$ ==> đpcm   

Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I). Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm BC,CA,BA. Qua M kẻ tiếp tuyến với (I) cắt PN tại X, các điểm Y,Z được xác định tương tự thuộc PM và MN. CMR: X,Y,Z thẳng hàng 

(Bài này mình repost của bạn "minhlong02121999", vì ko có ai giải từ lâu và đây là 1 bài toán hay nên mình post lại để các bạn cùng làm)

Mình chưa làm ra 

Nhưng mà bài này chắc chắn dùng véc tơ    . Hay!

cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O,R). Tiếp tuyến tại B của (O) cắt tiếp tuyến A, C lần lượt M, N. Dựng đường cao BH của tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của MO và AB, J là giao điểm của NO và BC

chứng minh HB là phân giác của góc MHN

hinh 15.JPG

CM: HB là phân giác MHN ta CM: góc AHM=CHN <==> tam giác AHM đồng dạng tam giác CHN

Lại có góc MAH=NCH (=90'+OAC) 

==> cần CM $\frac{AH}{AM}=\frac{HC}{NC} <==> \frac{AH}{MB}=\frac{HC}{BN}$ <==> HC.BM=AH.BN    (*)

Ta có tam giác CHB đồng dạng tam giác BIM (g-g) ==> HC.BM=BC.BI=BC.$\frac{AB}{2}$                     (1)

Làm tương tự ta đc: AH.BN=$\frac{BC}{2}$.AB                                                                                        (2)

Từ (1) và (2) ==> (*) đc CM ==> đpcm

Cho P nguyên tố lẻ.CMR: tồn tại căn nguyên thủy mod $P^{2}$

Bài này là 1 ĐL căn bản, các sách về Số học đều có bài này  

Hoặc theo cách này (mình cx chưa xem sách họ CM thế nào nx  ):

Gọi a là CNT mod p 

Giả sử ko tồn tại CNT mod $p^{2}$ (phản chứng)

Đặt $ord_{p^{2}}^{a}=h ==> a^{h} \equiv 1 (mod p^{2}) ==> a^{h} \equiv 1 (mod p) ==> p-1=ord_{p}^{a}|h$

Mà h| $\varphi(p^{2}) = p(p-1) ==> h\in{p-1;p(p-1)}$

mà a ko là CNT (mod $p^{2}$) ==> h=p-1           (1)

Gọi b sao cho $b\equiv a(mod p)$ mà b $\not\equiv a(mod $p^{2})$

Vì $a\equiv b(mod p) nên $ord_{p}^{a}=ord_{p}^{b}=p-1$ ==> b là CNT mod p

Tương tự ta có: $ord_{p^{2}}^{b}=p-1$                (2)

Từ (1) và (2) suy ra $a^{p-1} \equiv  b^{p-1} (mod p^{2})$ ==> $a^{p-1} - b^{p-1} \vdots  p^{2}$ ==> $\nu_({p})^({a^{p-1}-b^{p-1}) \geqslant 2$  ==> $\nu_({p})^({a-b}) \geqslant 2$ ==> $(a-b)  \vdots  p^{2}$ ==> $a  \equiv  b(mod p^{2})$ ==> mâu thuẫn

==> tồn tại CNT mod $p^{2}$

Cho tam giác ABC nhọn đường cao AH, M thuộc BC. Đường thẳng qua A vuông góc với AM giao đường thẳng qua M vuông góc AB tại E và giao đường thẳng qua M vuông góc với AC tại F. Đường thẳng qua C vuông góc với BF giao đường thẳng AH tại N. CM

$\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{CM}.\frac{ME}{BE}$ và tam giác ABN đồng dạng tam  giác MEC

Đề bài có vấn đề rồi bạn ạ, theo mình chỗ BE kia phải đổi thành MF   

Bài này có hướng như thế này: CM: AH, CE, BF là 3 đường cao của tam giác NBC 

                                                 sau đó dễ dàng CM đc tam giác ABN và MEC đồng dạng (g-g) (1)

                                                 làm tương tự ta được tam giác FBM và tam giác CNA đồng dạng (g-g) (2)

                                                Từ (1) và (2) suy ra được hệ thức liên hệ  $\frac{AB}{ME}=\frac{AN}{MC}$

                                                                                                                   $\frac{AC}{MF}=\frac{AN}{BM}$

==> đpcm     

Tìm số các số có 3 chữ số sao cho tổng của 3 chữ số đó bằng 11

Mình xin trình bày ý tưởng chính, phần còn lại bạn tự hoàn tất nốt nhé!

Xét số 11 thành 1 xâu nhị phân với 2 bit "0 và 1" sao cho có 11 bit "1" và 2 bit "0"  có dạng như sau; 1...101..101..1 (phân tích mỗi chữ số trong 3 chữ số trên thành tổng các bit 1) 

trong đó 2 bit "0" không bao giờ đứng ở 2 đầu đồng thời ở giữa luôn có ít nhất 1 bit "1" giữa 2 bit "0" ==> có 11-3=8 vị trí để xếp chữ số 0, mà có 2 chữ số 0 

Vì vậy số các số thỏa mãn chính là số cách xếp các bit "0" trong dãy nhị phân đó ....    

Họ tên: Lê Duy Dũng + Nguyễn Anh Tuấn (nick này 2 bọn em dùng chung)

Nick trong diễn đàn: Dung Du Duong

Năm sinh: 1999

Hòm thư: [email protected] - Lê Duy Dũng

               [email protected] - Nguyễn Anh Tuấn

Dự thi cấp: THPT

a. Cho $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}, \forall M$, cm I là trung điểm AM

b. Cho $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{3MG},\forall M\Rightarrow$ G là trọng tâm của tam giác ABC

Mình nghĩ là bài này rất cơ bản trong Tài liệu chuyên Toán 10 hoặc SGK bình thường cx có để tham khảo     

Mình xin trình bày 1 trong nhiều sự khác nhau của Newton và Einstein:  

+Newton cho rằng (cx như những gì chúng ta đc học ở trường): Trái Đất quay quanh Mặt Trời vì lực hấp dẫn của Mặt Trời hút và khiến Trái Đất quay quanh nó.  

+Còn Einstein lại cho rằng: Do lực hấp dẫn của Mặt Trời quá lớn mà khiến cho không gian xung quanh nó bị bẻ cong, và trong khi Trái Đất quay quanh Mặt Trời thì thực chất nó đang đi thẳng trong 1 không gian bị uốn cong. Điều này giải thích cho việc Ánh sáng bị Lực hấp dẫn quá lớn của Hố đen bẻ cong đến mức bị hút vào trong và ko thể thoát ra khỏi nó (theo Thuyết tương đối)  

Cho tam giác ABC không cân , BD và CE là 2 đường phân giác trong cắt nhau tại I sao cho ID=IE. Gọi độ dài 3 cạnh là a,b,c. CMR:$\frac{3}{a+b+c}=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}$ 

(đề tuyển sinh vào THPT chuyên Nguyễn trãi 98-99)

max dị!!!  

Bạn nó như vậy là ko đúng, hình vẽ của mình là trong một trừờng hợp nhất định, nên nếu khi làm mình phải nói xét bài toán trong trường hợp hình vẽ đó, cá trường hợp còn lại tương tự, mình chưa nói nên sai, nhưng hình vẽ thì ko sai bạn nhé! Mình sẽ sửa lại bằng cách dùng góc định hướng, tư tưởng vẫn vậy, bạn xem lại thử nhé!

mình xin nói luôn: bạn sai ngay từ khâu vẽ hình nên sai hết rồi        

Có bạn nào giúp mình với!!!

 

Bài này là 1 chi tiết trong đề thi VN TST 2011 đó! Đọc lời giải mà mình ko hiểu tại sao tác giả lại nói rằng điều này hiển nhiên!

Mình cứ đợi mãi mà ........ Bài này thực ra hiển nhiên rất cơ bản

Bạn tự vẽ hình nhé: 

Có tam giác MFD cân tại M, tam giác BED cân tại B   (1)

Có góc MFD = góc BED                                            (2)

Từ (1) (2) ==> 2 tam giác trên đồng dạng ==> tứ giác BEMD nội tiếp ==> đpcm