toile432000

1. Chứng minh rằng bốn hình tròn có các đường kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín miền tứ giác đó

Xét tứ giác lồi  ABCD và 1 điểm M thuộc miền trong hoặc nằm trên các cạnh của tứ giác đó. Ta có:

góc AMB+ góc BMC+ góc CMD+ góc DMA= 360 độ. Suy ra, tồn tại 1 trong 4 góc AMB, BMC, CMD, DMA có số đo lớn hơn hoặc bằng 90 độ.

Không mất tính tổng quát, giả sử góc CMD $\geq$ 90 độ nên M nằm trong hoặc trên đường tròn đường kính CD.

Suy ra đpcm!

  Đề thi vào Trường THPT Chu Văn An và Hà Nội - Amsterdam 1994-1995

                                                          Thời gian: 150 phút

Bài 2. a.Cho  $x,y>0$ và $x^3+y^3=x-y$. Chứng minh $x^2+y^2<1$

  

vì y>0 nên $x^{3}+y^{3}>x^{3}-y^{3}$. Theo bài ra ta có: $x-y>x^{3}-y^{3}\Leftrightarrow x-y>\left ( x-y \right )\left ( x^{2}+xy+y^{2} \right )\Leftrightarrow 1>x^{2}+xy+y^{2}$$\rightarrow 1>x^{2}+y^{2}$(đpcm)

(Vì xy>0; $x-y=x^{3}+y^{3}>0$)

Bài 4: Vì tam giác ABC cân tại B nên góc BAC < 90độ. Vẽ trung tuyến AM, đặt AM=R>0. Vẽ đường tròn (M; R) cắt BC tại D, E thì tam giác DAE vuông tại A. Các điểm B, C đối xứng với nhau qua M và cùng nằm trong đường tròn (vì nếu chúng cùng nằm ngoài đường tròn thì góc BAC >= góc DAE= 90 độ, trái với giả thiết góc BAC < 90 độ). Ta sẽ chứng minh rằng tam giác vuông ADE là tam giác phải tìm. Hiển nhiên, tam giác ADE phủ tam giác ABC, còn cần chứng minh $S_{ADE}\leq \sqrt{3}$. Kẻ AH vuông góc với DE. Đặt BM=MC=a>0. Ta có: $S_{ADE}$= $\frac{1}{2}$DE.AH=R.AH; AH=$\frac{2S_{ABC}}{BC}$=$\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}$ nên $S_{ADE}=\frac{R}{a}$ Ta cần chứng minh: $\frac{R}{a}\leq \sqrt{3}$: Thật vậy, trong 2 góc AMB, AMC tồn tại 1 góc >= 90 độ. Không mất tính tổng quát giả sử góc AMC>=90 độ, do đó chứng minh được $AM^{2}+MC^{2}\leq AC^{2}$. Nên: $R^{2}+a^{2}\leq AC^{2}< BC^{2}=4a^{2} \Leftrightarrow R^{2}< 3a^{2}\Leftrightarrow R< a\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{R}{a}< \sqrt{3}$

Từ đó, suy ra được đpcm.      

Bài 5: b, Trong 3 góc AOB, BOC, COA tồn tại ít nhất 1 góc có số đo >= 120 độ. Không mất tính tổng quát giả sử góc BOC>= 120 độ

Xét tam giác BOC cân tại O có 180 độ > góc BOC>=120 độ ( vì góc BOC=2 lần góc BAC<2.90 độ=180 độ) và OB=OC=1 không đổi. Nên BC min khi góc BOC=120 độ

Khi đó: BC=2BH (H là trung điểm của BC)=2.$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$

Suy ra được đpcm!