trameo

ta có :

$(\frac{1}{2x}+\frac{1}{3y}+\frac{1}{6z})(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=\frac{7}{18}+\frac{y}{6x}+\frac{x}{6y}+\frac{z}{12x}+\frac{x}{12z}+\frac{z}{18y}+\frac{y}{18z}  \geq  1$

=> PT (2) xảy ra dấu "=" khi : $x=y=z$

thay vô PT (1) ......................

: D

x, y, z là số thực mà bạn, đâu phải số dương 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$\frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}\geq \frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{2}{\sqrt{(y+2)(z+3)}}$

$\frac{y+1}{y+2}=1-\frac{1}{y+2}\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{2}{\sqrt{(x+1)(z+3)}}$

$\frac{z+2}{z+3}=1-\frac{1}{z+3}\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}\geq \frac{2}{\sqrt{(x+1)(y+2)}}$

Nhân theo vế các BĐT trên ta được

$\frac{x(y+1)(z+2)}{(x+1)(y+2)(z+3)}\geq \frac{8}{(x+1)(y+2)(z+3)}\Rightarrow x(y+1)(z+2)\geq 8$

Theo BĐT $AM-GM$ thì $8\leq x(y+1)(z+2)\leq \frac{(x+y+z+3)^3}{27}\Rightarrow x+y+z\geq 3$

Đặt $x+y+z=t$ $(t\geq 3)$

$\Rightarrow P=t+\frac{1}{t}=t+\frac{9}{t}-\frac{8}{t}\geq 2\sqrt{t.\frac{9}{t}}-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$

Vậy $P$ min $=\frac{10}{3}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=2;y=1;z=0$

Mình nghĩ làm thế này dễ hiểu hơn:

Ta có: $1\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{x+y+z+6}=\frac{9}{x+y+z+6}$

$\Rightarrow x+y+z+6\geq 9\Rightarrow x+y+x\geq 3$

Ta lại có: $x+y+z+\frac{1}{x+y+z}=\frac{8(x+y+z)}{9}+\frac{x+y+z}{9}+\frac{1}{x+y+z}\geq \frac{8.3}{9}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$

Vậy Pmin = $\frac{10}{3}$

Cho tam giác ABC. M là trung điểm BC. Trên phần kéo dài cạnh AC về phía A lấy điểm N sao cho AN = 1/3 AC. Nối MN cắt AC tại P. Diện tích APN = 6. Tính diện tích ABC

Hình như sai đề rồi bạn ơi, MN cắt AB tại P chứ !!!

Ở cấp hai bạn gọi là BĐT Schwarz đó

  $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}\geq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{a+b}$ với $a,b$ dương

Cảm ơn bạn 

Giải

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$M=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{(x+y)^2}+\frac{2}{(x+y)^2}\geq 6$

Vậy $M$ min $=6$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Bất đẳng thức AM-GM là bđt gì vậy bạn?