Đến nội dung

trameo

trameo

Đăng ký: 17-09-2014
Offline Đăng nhập: 13-10-2015 - 21:15
-----

#531122 $P=x+y+z+\frac{1}{x+y+z}$

Gửi bởi trameo trong 29-10-2014 - 21:12

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$\frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}\geq \frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{2}{\sqrt{(y+2)(z+3)}}$

$\frac{y+1}{y+2}=1-\frac{1}{y+2}\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{2}{\sqrt{(x+1)(z+3)}}$

$\frac{z+2}{z+3}=1-\frac{1}{z+3}\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}\geq \frac{2}{\sqrt{(x+1)(y+2)}}$

Nhân theo vế các BĐT trên ta được

$\frac{x(y+1)(z+2)}{(x+1)(y+2)(z+3)}\geq \frac{8}{(x+1)(y+2)(z+3)}\Rightarrow x(y+1)(z+2)\geq 8$

Theo BĐT $AM-GM$ thì $8\leq x(y+1)(z+2)\leq \frac{(x+y+z+3)^3}{27}\Rightarrow x+y+z\geq 3$

Đặt $x+y+z=t$ $(t\geq 3)$

$\Rightarrow P=t+\frac{1}{t}=t+\frac{9}{t}-\frac{8}{t}\geq 2\sqrt{t.\frac{9}{t}}-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$

Vậy $P$ min $=\frac{10}{3}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=2;y=1;z=0$

Mình nghĩ làm thế này dễ hiểu hơn:

Ta có: $1\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{x+y+z+6}=\frac{9}{x+y+z+6}$

$\Rightarrow x+y+z+6\geq 9\Rightarrow x+y+x\geq 3$

Ta lại có: $x+y+z+\frac{1}{x+y+z}=\frac{8(x+y+z)}{9}+\frac{x+y+z}{9}+\frac{1}{x+y+z}\geq \frac{8.3}{9}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$

Vậy Pmin = $\frac{10}{3}$




#530835 Tìm giá trị nhỏ nhất của P=$x+y+z+\frac{1}{x+y+z...

Gửi bởi trameo trong 27-10-2014 - 21:28

Cho các số x, y, z không âm và không đông thời bằng 0 thỏa mãn: $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\leq 1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của P=$x+y+z+\frac{1}{x+y+z}$




#525877 Cho x, y là các số dương thỏa mãn: $x+y\leq 1$. Tìm giá trị nh...

Gửi bởi trameo trong 23-09-2014 - 19:51

Giải

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$M=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{(x+y)^2}+\frac{2}{(x+y)^2}\geq 6$

Vậy $M$ min $=6$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Bất đẳng thức AM-GM là bđt gì vậy bạn?




#525872 Cho x, y là các số dương thỏa mãn: $x+y\leq 1$. Tìm giá trị nh...

Gửi bởi trameo trong 23-09-2014 - 19:32

Cho x, y là các số dương thỏa mãn: $x+y\leq 1$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$M=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{xy}$




#525649 Tìm x, y, z biết: $\sqrt{x-1}+\sqrt{y-5}+...

Gửi bởi trameo trong 21-09-2014 - 22:45

Điều kiện xác định bạn tự tìm hộ mình nhé:

Phương trình <=>$x+y+z-2\sqrt{x-1}-2\sqrt{y-5}-2\sqrt{z-3}=0<=>(x-1-2\sqrt{x-1}+1)+(y-5-2\sqrt{y-5}+1)+(z-3-2\sqrt{z-3}+1)+6=0<=>(\sqrt{x-1}-1)^2+(\sqrt{y-5}-1)^2+(\sqrt{z-3}-1)^2+6=0$

Ta thấy $(\sqrt{x-1}-1)^2+(\sqrt{y-5}-1)^2+(\sqrt{z-3}-1)^2\geq 0$ nên $VT\geq 6>0$ từ đó suy ra phương trình vô nghiệm

Tuyệt vời ông mặt trời !!! :))  :))  :))

Cảm ơn bạn nhiều !!!




#525640 Tìm x, y, z biết: $\sqrt{x-1}+\sqrt{y-5}+...

Gửi bởi trameo trong 21-09-2014 - 22:21

Tìm x, y, z biết:

$\sqrt{x-1}+\sqrt{y-5}+\sqrt{z-3}=\frac{x+y+z}{2}$

Giúp mình bài này với !!!  :botay