Đến nội dung

dinhnguyenhoangkim

dinhnguyenhoangkim

Đăng ký: 20-09-2014
Offline Đăng nhập: 14-09-2016 - 23:24
***--

#544712 Chứng minh rằng các đường cao của tam giác $AGE, $BDK$, $...

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 17-02-2015 - 21:12

Chứng minh thế này nè em.

Gọi M, N là hình chiếu của B, J lên DK.

Khi đó, BJ vuông góc với DK$\Leftrightarrow$M$\equiv$N$\Leftrightarrow$MD2-MK2=ND2-NK2

$\Leftrightarrow$BD2-BK2=JD2-JK2.

Cái này cũng là một cách thường dùng, được sử dụng luôn đó.




#544688 Chứng minh $\Sigma$$\sqrt{a}$$...

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 17-02-2015 - 17:40

Cho các số thực dương a, b, c và a+b+c$\leq$3.

Chứng minh $\Sigma$$\sqrt{a}$$\geq$$\Sigma$ab




#544677 Chứng minh rằng các đường cao của tam giác $AGE, $BDK$, $...

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 17-02-2015 - 16:30

Untitled.jpg

Gọi J là trung điểm AC.

Đặt $\widehat{ABJ}$=$\alpha$, $\widehat{CBJ}$=$\beta$.

Dễ có: AB.sin($\alpha$)=BC.sin($\beta$).

Ta sẽ chứng minh BJ vuông góc với DK.

Ta có: BJ vuông góc với DK $\Leftrightarrow$ BD2-BK2=JD2-JK2

$\Leftrightarrow$ BD2-BK2=(JB2+BD2-2JB.BD.cos($\widehat{JBD}$))-(JB2+BK2-2JB.BK.cos($\widehat{JBK}$))

$\Leftrightarrow$ BD.cos($\widehat{JBD}$)=BK.cos($\widehat{JBK}$)  $\Leftrightarrow$BD.cos($\pi$+$\alpha$)=BK.cos($\pi$+$\beta$)  $\Leftrightarrow$AB.sin($\alpha$)=BC.sin($\beta$) (đúng).

Vậy các đường cao của tam giác AGE, BDK, CIF lần lượt đi qua trung điểm của BC, CA, AB

Suy ra chúng đồng quy $\Rightarrow$ đpcm.

 




#544641 chứng minh I,K,P,Q cùng nằm trên 1 đường tròn

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 17-02-2015 - 12:34

Untitled1.jpg

Dễ có $\widehat{PBI}$=$\widehat{PAI}$=90o nên PAIB nội tiếp. Suy ra $\widehat{APD}$=$\widehat{ABI}$

$\Rightarrow$$\widehat{APD}$=$\widehat{IBD}$.

Ta có $\widehat{APD}$=$\widehat{IBD}$, $\widehat{PDA}$=$\widehat{IDB}$

$\Rightarrow$ tam giác ADP đồng dạng với tam giác IDB

$\Rightarrow$$\frac{AD}{DP}$=$\frac{ID}{DB}$$\Rightarrow$DI.DP=DA.DB (1).

Tương tự, ta có DK.DQ=DA.DC (2).

D là trung điểm BC nên DB=DC (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra DI.DP=DK.DQ$\Rightarrow$IKQP nội tiếp$\Rightarrow$đpcm

 

 




#544622 CM 3 đường thẳng trên đồng quy

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 17-02-2015 - 09:50

Untitled.jpg

Gọi M, P lần lượt là hinh chiếu của O lên AC, AB. N là hình ciếu của M lên AB.

Khi đó, dễ thấy d2 vuông góc với MD, d3 vuông góc với OM.

Xem BC là một trục. Giả sử D(0), A(a), E(x).

Khi đó B(-a), N($\frac{a}{2}$), P($\frac{a+x}{2}$).

Ta có:  (DO2-DD2)+(ED2-EM2)+(BM2-BO2)

          =(DO2-BO2)+(BM2-EM2)+ED2

          =(DP2-BP2)+(BN2-EN2)+ED2

         =($\frac{a+x}{2}$-0)2-($\frac{a+x}{2}$-(-a))2+($\frac{a}{2}$-(-a))2-($\frac{a}{2}$-x)2+(0-x)2=0.

Áp dụng định lý Carnot cho tam giác OMD suy ra d1, d2, d3 đồng quy

 

 

 

 




#544493 Topic ôn luyện cho cuộc thi toán olympic 30/4 năm 2015

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 16-02-2015 - 16:44

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn khác tam giác cân nội tiếp đường tròn $\omega$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp tương ứng với đỉnh $A,B,C$ là $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $EFI$ cắt $\omega$ tại $A_{1},A_{2}$.

$a)$ Chứng minh các đường thẳng $A_{1}A_{2}, EF, BC$ đồng quy.

$b)$ Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DIF$ cắt $\omega$ tại $B_{1},B_{2}$; đường tròn ngoại tiếp tam giác $DIE$ cắt $\omega$ tại $C_{1},C_{2}$. Các đường thẳng $A_{1}A_{2}, B_{1}B_{2}, C_{1}C_{2}$ đôi một cắt nhau tạo thành một tam giác, chứng minh rằng diện tích tam giác nhỏ hơn $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác $ABC$.

Untitled.jpg

a) Bằng các biến đổi góc, ta dễ có $\widehat{BFE}$+$\widehat{BCE}$=180$^{\circ}$$\Rightarrow$BCEF nội tiếp.

    Ta có BCEF nội tiếp, BA1A2C nội tiếp, FA1A2E nội tiếp $\Rightarrow$ BC là trục đẳng phương của $\omega$ và (BCE), 

    A1A2 lá trục đẳng phương của $\omega$ và (FIE), EF là trục đẳng phương của (BCE) và (FIE)

    Suy ra BC, EF, A1A2 đồng quy.

b) Dễ thấy FAIB nội tiếp.

    Ta có AB là trục đẳng phương của $\omega$ và (FAB), IF là trục đẳng phương của (FIE) và (FAB),     A     1Alà trục đẳng phương của $\omega$ và (FIE) $\Rightarrow$ AB, A  1A2, FI  đồng quy (1).

    Ta có B1B2 là trục đẳng phương của $\omega$ và (FID), IF là trục đẳng phương của (FIE) và (FID),     A     1A2  là trục đẳng phương của $\omega$ và (FIE) $\Rightarrow$ B 1B2, A1A2, IF đồng quy (2).

    Từ (1) và (2) suy ra    B1B2, A1A2, IF, AB đồng quy  $\Rightarrow$ Giao điểm của A  1A2 và B1Blà chân đường phân giác từ

    đỉnh C của $\Delta$ABC.

    Tương tự đối với A1A2 và C1C2,  C1C2 và B1B2.

    Vậy tam giác tạo bởi 3 đường thẳng   A 1A2, B1B2, C1C2 là tam giác tạo bởi chân 3 đường phân giác trong $\Delta$ABC.

    Untitled2.jpg

    Gọi các chân đường phân giác là M, N, P.

    Ta có :$\frac{SBMP}{SABC}$=$\frac{BM.BP}{BC.BA}$=$\frac{c}{b+c}$.$\frac{a}{a+b}$$\frac{ac}{(a+b)(b+c)}$

    Tương tự: $\frac{SAPN}{SABC}$=$\frac{bc}{(a+b)(c+a)}$, $\frac{SCMN}{SABC}$=$\frac{ab}{(b+c)(c+a)}$

  Vậy :$\frac{SBPM}{SABC}$+$\frac{SAPN}{SABC}$+$\frac{SCMN}{SABC}$ = $\frac{$\sum$ab(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$=T

  Ta có: T=$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)-2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

               $\geqslant$$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)-(a+b)(b+c)(c+a)/4}{(a+b)(b+c)(c+a)}$=3/4

  Ta có: $\frac{SMNP}{SABC}$=1-T$\leqslant$1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$

   Dấu "=" không xảy ra do tam giác ABC không đều $\Rightarrow$ đpcm




#544408 Topic ôn luyện cho cuộc thi toán olympic 30/4 năm 2015

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 16-02-2015 - 08:04

Bài 6 (Trường LHP): Cho D là điểm trên cạnh BC của tam giác ABC sao cho $\angle$CAD=$\angle$CBA. Một đường tròn tâm O đi qua B và D lần lượt cắt AB, AD tại E, F. Đường thẳng BF và DE cắt nhau tại G. M là trung điểm AG. Chứng minh CM vuông góc với AO.

 Untitled2'.jpg  

Bổ đề: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. AD cắt BC tại Q. AB cắt CD tại P. AC cắt BD tại I. Khi đó O là trực tâm tam giác IPQ.

Trở lại bài toán ban đầu:

Gọi H=EF$\cap$BC, K=EF$\cap$AG, J=AG$\cap$BC.

Ta có: $\angle$EFA=$\angle$ABD$\Rightarrow$$\angle$EFA=$\angle$DAC$\Rightarrow$EF//AC

Áp dụng bổ đề ta có O là trực tâm tam giác AGH $\Rightarrow$ HG vuông góc AO. Ta cần C/m CM//HG.

AJ, BF, DE đồng quy, H=EF $\cap$BC $\Rightarrow$(BDJH)=-1

$\Rightarrow$(AGJK)=-1(Phép chiếu xuyên tâm E).

Mà M là trung điểm AG nên 

$\overline{JG}$.$\overline{JA}$=$\overline{JK}$.$\overline{JM}$(Hệ thức Maclaurin)$\Rightarrow$JG.JA=JK.JM

$\Rightarrow$$\frac{JA}{JK}$=$\frac{JM}{JG}$

Lại có $\frac{JA}{JK}$=$\frac{JC}{JH}$ (do EF//HG) nên $\frac{JM}{JG}$=$\frac{JC}{JH}$$\Rightarrow$GH//MC$\Rightarrow$đpcm




#544359 Chứng minh $(a^2+b^2, c^2+d^2)>1$

Gửi bởi dinhnguyenhoangkim trong 15-02-2015 - 21:51

Cho các số nguyên dương a, b, c, d sao cho $(ac+bd) \vdots (a^2+b^2)$.  Chứng minh $(a^2+b^2, c^2+d^2)>1$