Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


halloffame

Đăng ký: 21-09-2014
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 09:13
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: đường tròn

15-01-2019 - 21:08

Bạn post vào box Hình học của Toán THCS, hoặc box Hình học phẳng của Toán THPT nhé.


Trong chủ đề: $AG$ đi qua điểm cố định

15-01-2019 - 11:21

Ta sẽ chứng minh $AG$ luôn đi qua $M$ cố định.

Qua phép nghịch đảo tâm $M$ phương tích bất kì, ta đưa bài toán đã cho về bài toán mới như sau:

Bài toán. Cho hai đường thẳng $d_1 \parallel d_2$ và điểm $M$ nằm trong phần mặt phẳng giữa hai đường thẳng, $m$ là đường thẳng qua $M$ song song $d_1.A$ là điểm bất kì nằm trên $d_2$ sao cho tồn tại một đường tròn qua $A,M$ tiếp xúc $d_2$ và cắt $d_1$ tại $B,C.$ Một đường tròn qua $B,M$ tiếp xúc $d_1$ và cắt $m$ tại $I \neq M;$ một đường tròn qua $C,M$ tiếp xúc $d_1$ và cắt $m$ tại $J \neq M.$ Đường tròn qua $I,M$ tiếp xúc $d_2$ cắt đường tròn qua $J,M$ tiếp xúc $d_2$ tại $G \neq M.$ Khi đó $\overline{G,A,M}.$

Chứng minh. Gọi $(ABC)$ cắt lại $m$ tại $M' \neq M$ thì $\widehat{MM'A}= \widehat{MAD}= \widehat{AMM'} \Rightarrow \Delta AMM'$ cân tại $A.$

Tương tự ta cũng chứng minh được các tam giác $ABC,BMI,CMJ,DMI,EMJ$ cân tại $A,B,C,D,E$ với $D,E$ là tiếp điểm của $(GMI),(GMJ)$ và $d_2.$

Ta được $BD,CE$ là trung trực $MI,MJ$ nên $BDEC$ là hình chữ nhật, lại có $A$ thuộc trung trực $BC$ nên $A$ là trung điểm $DE.$

Lại có $AD,AE$ tiếp xúc $(GMI),(GMJ)$ nên $A$ thuộc trục đẳng phương của $(GMI),(GMJ)$ chính là $MG.$ Ta có đpcm.


Trong chủ đề: $E,F,H',M$ đồng viên

14-01-2019 - 14:18

Gọi $A'$ đối xứng $A$ qua $H;J=FE \cap PM;K$ là hình chiếu $H'$ lên $EF;G=EF \cap BC;D=AP \cap (O) \neq A;BL,CN$ là đường cao $\Delta ABC$ cắt nhau ở $S;Q=NL \cap BC;R=AQ \cap (O) \neq A.$ Vẽ hai tia $Pa \parallel EF,Ab \parallel BC).$

Xét chùm $A(BCMb)=-1$ và $PE \perp AB,PF \perp AC,PM \perp AB.$ Lại có $\widehat{PFE}= \widehat{PAE}= \widehat{MAC}$ (do $AP$ là đường đối trung $\Delta ABC$ )

$\Rightarrow AM \perp EF \Rightarrow P(EFJa)=-1 \Rightarrow JE=JF.$ Do $AP$ đường kính $(AEF),J$ trung điểm $EF$ và $M$ là giao điểm của $PJ$ và đường cao hạ từ $A$ của $\Delta AEF$ nên theo kết quả quen thuộc thì $M$ là trực tâm $\Delta AEF$

$\Rightarrow JM=JP \Rightarrow \frac{AD}{DP}= \frac{AA'}{MP}= \frac{2AH}{2JP}= \frac{AH}{JP} \Rightarrow \overline{H,D,J}.$

Theo các kết quả quen thuộc, $R(QHBC)=-1=(ADBC) \Rightarrow R \in HD$ và:

$\widehat{GMK}= \widehat{GJH'}= \widehat{GJM}- \widehat{MJH}= \widehat{AMB}- \widehat{RHA}= \widehat{RMQ}=90^0- \widehat{AQM} \Rightarrow MK \perp AQ.$

Xét chùm $A(QHBC)=-1$ và $MF \perp AB,ME \perp AC,MK \perp AQ,MG \perp AH \Rightarrow M(EFKG)=-1 \Rightarrow GF.GE=GJ.GK=GM.GH'$

$\Rightarrow H' \in (MEF).$ Ta có đpcm.


Trong chủ đề: $\widehat{POQ}=\widehat{BAC}$

13-01-2019 - 22:54

Gọi $A',B',C',D,E$ đối xứng $A,B,C,N,M$ qua $O \Rightarrow D \in A'C',E \in A'B'.$ Áp dụng định lí $Pascal$ đảo cho bộ điểm $(B',C,A',B,C')$ và $\overline{D,O,E}$

ta suy ra $BD,CE,(O)$ đồng quy tại $F.$ Chú ý $OP,OQ$ là đường trung bình $\Delta NDB, \Delta MEC \Rightarrow \widehat{POQ}= \widehat{BFC}= \widehat{BAC}.$

Ta có đpcm.


Trong chủ đề: Đề thi toán huyện Thanh Chương năm học 2016-2017

13-01-2019 - 22:24

$a) \Delta AKE= \Delta AKH \Rightarrow \widehat{EAK}= \widehat{BAH}.$ Tương tự $\widehat{FAQ}= \widehat{CAH} \Rightarrow \widehat{EAF}=2 \widehat{BAC}=180^0$

$\Rightarrow \overline{E,A,F}.$

$b)AH=HN, \widehat{AHN}=90^0 \Rightarrow \Delta AHN$ vuông cân tại $H \Rightarrow \widehat{ANH}=45^0.$ Tương tự $\widehat{ADB}=45^0 \Rightarrow ADNB$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \Delta DNB$ vuông tại $N \Rightarrow 2AN=BD=2AM$ (do $\widehat{BAC}=90^0$ ). Vậy $AM=AN.$