halloffame

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với các đường cao BE, CF. Vẽ đường kính AA' của (O), A'B và A'C cắt AC và AB ở M, N. P, Q trên EF sao cho PB và QC vg BC. Lấy X, Y khác A trên (O) sao cho AX, AY vg QN, PM. Tiếp tuyến tại X, Y của (O) giao nhau ở J. CM: JA' vg BC?

Đề bài có thể phát biểu lại như sau:   Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, phân giác góc BAH là AD, M trung điểm AB, qua C kẻ đường thẳng song song AD cắt AH ở E. CM: M, D, E thẳng hàng.

Vì AD//CE nên AE/HE = DC/HC. Với chú ý ^angleADC = ^angleDAB + ^angleABD = ^angleDAH + ^angleCAH = ^angleCAD nên CA = CD, ta suy ra AE/HE = DC/HC = AC/HC = BA/AH = BD/DH. Tóm lại AE/HE = BD/DH.

Bây giờ xét tam giác ABH và 3 điểm M, D, E ta thấy ngay (BM/MA)*(AE/EH)*(HD/DB) = 1 nên theo Menelaus đảo có đpcm.

Bạn giải thích hộ mình một chút:

37 là số nguyên tố, do vậy số chia hết cho 37 khi phân tích ra thừa số nguyên tố phải có thừa số 37. Nhưng 2³⁶ phân tích ra thừa số nguyên tố thì toàn là số 2, vậy sao nó chia hết cho 37 được

Gọi I là tâm nội tiếp tam giác ABC.

Giả sử BI cắt DE ở K.

Ta có: ^angleDKI = 180⁰ - ^angleEDB - ^angleDBK = ^angleADE - 1/2^angleABC = ^angleACI => EKCI là tgnt => ^angleBKC = ^angleIEC = 90⁰

Gọi trung điểm BC là M thì KM = MB = MC => ^angleMKB = ^angleMBK, mà ^angleMBK = ^angleKBA nên KM // AM => KM đi qua trung điểm AC.

Ta có đpcm.

  Giải:

Từ điều kiện của a, b suy ra  80 > a² - b² > 0. Nhưng vì 11*(a² - b²) là SCP nên a² - b² có dạng 11 * q² với q là STN > 0.

Do đó suy ra được 3 > q > 0.

Nếu q = 1 thì (a - b) * (a + b) = 11 suy ra a = 6, b = 5.

Nếu q = 2 thì (a - b) * (a + b) = 44 suy ra a = 12, b = 10 (loại).

Vậy chỉ có a = 6 và b = 5 là thoả đề.

 

Gốc của bài này là bài hình hả

(máy hư latex)

Gọi I là điểm thoả IA^vectơ(vec) + 3*IB^vec = 0^vec ; K là điểm thoả 4*KA^vec - 3*KB^vec + 2*KC^vec = 0^vec.

Đương nhiên các điểm I, K nói trên là xác định và cố định.

Như vậy Q (biểu thức ban đầu) = 12*(căn 2)*MI + 12*MK.

Hiển nhiên để Q min thì M phải nằm trên IK và phải nằm giữa I và K (chỉ cần chỉ ra với mọi M nằm ngoài IK thì Q đều lớn hơn khi M nằm giữa I và K)

Lúc này Q = 12*IK + 12*(căn 2 trừ 1)*MI > 12*IK

Như vậy để Q min thì M trùng I .

Giả sử OM cắt PQ ở Z. Hạ MT vg OP với T thuộc OP.

Dế thấy MTPZ là tgnt nên OP*OT = OZ*OM = OQ² = R².

Do đó quỹ tích M là đường thẳng đi qua T và vg với OP, với T là điểm thuộc tia OP thoả OP*OT = R²

Bài 3: Ý tưởng là tìm bất biến.

Giả sử đến 1 lúc nào đó, trên bàn có k cốc úp.

Trong lần tiếp theo, từ trạng thái có k cốc úp đó giả sử ta lật ngửa m cốc và lật úp 210 - m cốc.

Như vậy lúc đó số cốc úp trên bàn sẽ là k - m + (210 - m) = k + 210 - 2m, dễ thấy số này cùng tính chẵn lẻ với k.

Do đó bất biến của bài toán là : số cốc úp trên bàn có tính chẵn lẻ là không thay đổi.

Theo đề ban đầu có 0 tách úp, đề yêu cầu phải có 2013 tách úp nên không thực hiện được.

Trong TH có 2012 tách thì làm như sau:

B1: Lật úp 1890 tách, còn 122 tách ngửa.

B2: Lật úp 61 tách và lật ngửa 149 tách, còn 210 tách ngửa.

B3: Lật 210 tách đó.

Hình bài 63:

Vì E tâm (ABD) và I tđ BC nên EI vg BA. Cũng có FI vg AC mà BA vg AC nên EI vg IF (1)

(máy hư latex) ^gócEAB = (180 - ^gócAEB)/2 = 90 - ^gócADB = 90 + ^gócADC = (180 -  ^gócAFC)/2 = ^gócFAC => ^gócEAF = ^gócBAC = 90 (2) => ^gócEDF = 90 (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm.

Bài 71: Cho n là số nguyên dương khác 1 và A là tập các số nguyên từ 1 đến 2ⁿ. Gọi tập con B của A là chẵn chòi nếu với mỗi cặp (x;y) với x,y thuộc A, x khác y, x+y là một luỹ thừa của 2 thì đúng một trong hai số x, y thuộc B. Hỏi có bao nhiêu tập con chẵn chòi B như vậy ?

hình như đề bị sao rồi, bạn gõ nhầm rồi thì phải

Bài 62 (gần hoàn thiện):

(máy bị lỗi latex)

a)Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

   Khi đó O, H, G thẳng hang (đường thẳng Euler) và OH^{vectơ (vec)} = 3* OG^vec suy ra OH^vec = OA^vec + OB^vec + OC^vec

   Bình phương vô hướng lên rồi rút gọn được đpcm.

b)Theo câu a) thì để AB² + BC² + CA² max <=> OH min <=> O trùng H <=> ABC là tam giác đều. Khi đó max = 9R²

thiếu mấy chỗ, hình như M tđ BC với câu b) là quỹ tích K.

a)Từ cách dựng E ta suy ra E nằm giữa D và M đồng thời EM = 1/5 DM.

Hạ CE' vuông góc DM với E' thuộc DM. Dùng tam giác đồng dạng dễ suy ra ME'=1/5 MD nên E trùng E' tức CE vg DM (đpcm)

b)(đoạn này latex máy mình bị hư bạn thông cảm)

tách KA.KB ra KA²+KA.AB rồi tương tự với KA.KD=KA²+KA.AD sau đó tương đương được (KA vectơ).(2AO vectơ)=0 suy ra quỹ tích K là đường thẳng qua A vuông góc AO