halloffame

Mấy bài sau đây mình sưu tầm từ các trang mạng khác:
Bài 66: Tam giác ABC, ba trung tuyền AA', BB', CC'. Lấy trên AA' các điểm A₁ và A₂ thoả A₁A₂ = 1/2 AA'. Qua A₁ và A₂ vẽ các đường thảng vuông góc với A₁ và A₂. Tương tự ta có B₁, B₂, C_1, C₂ và 6 đường thẳng.
            a) Cm trong các giao điểm của 6 đường thẳng trên, tồn tại 6 giao điểm lập ra 1 lục giác nội tiếp.
            b) Bài toán còn đúng không nếu thay 1/2 bởi 1, bởi 1/4 ?
Bài 67: Cho tứ giác ABCD có 2 góc BAD và BCD bằng nhau. I tđ AC. DH, DK, DL vuông góc BC, CA, AB. CM IHKL là tgnt.
Bài 68: Cho (O,R) và (I,r) tx trong ở T. xy là tt chung ở T.A thuộc (O), tiếp tuyến AB, AC của (I) với B, C thuộc xy. CM khi A di động thì r(ABT)+r(ACT) = const
Bài 69: Cho tam giác ABC, P trong tam giác, hạ PA', PB', PC' vuông góc BC, CA, AB. AA' cắt PB', PC' ở M, N. Qua M, N vẽ KL//B'C' với K, L thuộc AB, AC. CM P thuộc KL.
Bài 70:Tam giác ABC, I_a tâm bang tiếp góc A, A' trung điểm BC, I tâm nội tiếp, L là điểm Lemoine, G_e là điểm Gergonne. CM IL, GG_e, I_aA' đồng quy.
P/s 1: góp vui
P/s 2: bài 2 chưa ai làm
@namcpnh: Ai giỏi hh vào xem coi những bài nào có thể giữ lại được ( nghĩa là hợp với đề VMO) .

haha )) chào thằng bạn

Trước hết gọi giao đ tròn Euler với AH là T thì T tđ AH

Ycbt <=> E thuộc trục đẳng phương của 2 đường tròn <=> EM*EA = ET*ED.

Mà M, T tđ EH, AH, lại có BE vuông góc EC nên đưa được cái trên về AB, BC, CA rồi có đpcm   

bài này khá khó, có cả một chuyên đề về nó trên website của thầy Trần Quang Hùng :

BCDE nội tiếp (O)

 

44) Cho tam giác $ABC$. $M;N;P$ di động trên tia $BC;CA;AB$ sao cho $\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{NC}{NA}=\dfrac{PA}{PB}$. Dựng hình bình hành $MNPQ$. Tìm tập hợp những điểm $Q$

Xét $\frac{AP}{AB} = \frac{BM}{BC} = \frac{CN}{CA} = k

=>\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{AP} = k \overrightarrow{BC} + (1-k) \overrightarrow{CA} + k \overrightarrow{AB} = (-2k+1) \overrightarrow{CA}$  =>  $\overrightarrow{BQ} // \overrightarrow{CA}$

Vậy Q thuộc đường thẳng qua B và song song với AC

42) Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp những điểm $M$ thỏa mãn:

a) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|$

b) $\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|4\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$

$c) $\left|4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}\right|$$

42)

a) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|$

<=> $\left | \vec{BA}+\vec{MC} \right | = \left | $\vec{BA}$ \right |$

<=> $\vec{BA} + \vec{MC} = \pm \vec{BA}$

<=> $\vec{MC}$ = 0 ( M$\equiv$C) hoặc $\vec{MC} = 2 \vec{AB}$

b) Gọi I, K là tâm tỉ cự của hệ điểm (A;B), (B;C) với hệ số (2;1), (4;-1).

Suy ra $$\left |3 $\overrightarrow{MI}$ \right | = $$\left | 3 $\overrightarrow{MK}$ \right |

Hay MI=MK tức là M thuộc trung trực IK.

c) Lấy C' trên mặt phẳng chứa tam giác ABC sao cho A là trung điểm CC'=> $\vec{CA} = \vec{AC'}$

Dẫn dến $\left | 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right |=\left | \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA} \right |=\left | \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC'} \right |=\left | \overrightarrow{BC'} \right |=BC'$

Gọi Z là tâm tỉ cự của hệ điểm (A;B;C) với hệ số (4;1;1).

Đẳng thức đã cho tương đương  $\left | 6 \overrightarrow{MZ} \right |=BC'$ hay 6MZ = BC' <=> MZ = $\frac{BC'}{6}$

Vậy M thuộc (Z ; $\frac{BC'}{6}$)