NgocHieuKHTN

Từ giả thiết $\frac{1}{a+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$

tương tự ta có $\frac{1}{b+1}\geq 2\sqrt{\frac{ac}{(a+1)(b+1)}}$

$\frac{1}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{(a+1)(b+1)}}$

nhân 3 bất đẳng thức với nhau ta có đpcm

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1/2

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

CMR 

$\sum \frac{1}{2a^{2}+bc}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ac}$

bài này khá ảo , hình như xảy ra dấu bằng tại 2 lần

(from 1 học sinh nam trường THPT Chu Văn An- ko rõ tên)

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng : $$2\left ( a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 \right )+3\leq 3\left ( a^2+b^2+c^2 \right )$$

Dễ thấy VP $\geq 9$

Ta luôn có bđt sạu (tự CM vì nó dễ CM)

$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$

thay a+b=3-c ; b+c=3-a ; c+a=3-b

ta được $abc\geq (3-2a)(3-2b)(3-2c)$

nhân hết vế phải ra và thu gọn ta được 

$3abc\geqslant 4(ab+bc+ac)-9 \Leftrightarrow 12abc\geqslant 16(ab+bc+ac)-9$          (1)

lại có VT=$2(ab+bc+ac)^{2}-4abc(a+b+c)+3=2(ab+bc+ac)^{2}-12abc+3$                      (2)

từ (1) và (2) suy ra 

VT$\leqslant 2(ab+bc+ac)^{2}-16(ab+bc+ac)+39=2(ab+bc+ac-4)^{2}+7\leqslant 2(3-4)^{2}+7=9\leqslant VP$

($ab+bc+ca\leqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$) 

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 

xin cái like nha

Cho 3 số thực dương a,b,c 

CMR :

$(\frac{ab+c}{c+1})(\frac{bc+a}{a+1})(\frac{ac+b}{b+1})\geq abc$

P/s: bài này khá bựa , mình nghĩ được cách là biến đổi tương đương ,nhưng thấy nó không được đẹp và hay, bạn nào nghĩ được cách dùng bất đẳng thức phụ thì cứ thoải mái add

Điều kiện xác định : $-3\leq x\leq \frac{3}{2}$

Đặt $\sqrt{x+3}=a$

      $\sqrt{3-2x}=b$   ($a,b\geq 0$)

nhận thấy $a^{2}+b^{2}=6-x$

phương trình đã cho tương đương $4a+2b=a^{2}+b^{2}+5\Leftrightarrow (a-2)^{2}+(b-1)^{2}=0$

đến đây có lẽ là ổn rồi !!!

xin cái like

1) Cho $a;b;c;d>0$. Cmr:

$$A=\sum \dfrac{a}{b+2c+3d}\ge \dfrac{2}{3}$$

 

 

thế này nhá :

ta có :

$\sum \frac{a}{ab+2ac+3ad}\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)}\geq \frac{2}{3}$

đến đây biến đổi tương đương ra đpcm 

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d

xin cái like

cách hay đấy lahantaithe

Cho ba số a,b,c là các số thực dương

CMR

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq \frac{3}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$

bài này mình đổi biến nhưng thấy nó dài, ai nghĩ được cách j hay hay nhào zô , càng xúc tích càng hay

Dựa vào điều kiện bài toán ta có : $a+b+c=3\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow 1\geq abc$

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

 

$\sum \frac{a}{ab+1}\geq \sum \frac{a}{ab+abc}= \sum \frac{1}{b+bc}\geq \frac{9}{\sum a+\sum ab}\geq \frac{9}{\sum a+\frac{(\sum a)^{2}}{3}}= \frac{3}{2}$

 

Vậy ta được đpcm

ngược dấu rồi !!

cho 3 số a,b,c dương

CMR $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ac+1}\geq \frac{3}{2}$

(a+b+c=3)

Áp Dụng BĐT CauChy-Shwart 

ta có : $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b^{2})}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a(b+c)^{2}}=\frac{(a+b+c)^{2}}{ab^{2}+ac^{2}+bc^{2}+ba^{2}+ca^{2}+cb^{2}+2abc+4abc}=\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a)+4abc}$

tới đây ta áp dụng AM-GM ta được 

$VT\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\frac{(2a+2b+2c)^{3}}{27}+\frac{4(a+b+c)^{3}}{27.}}$

rút gọn ta được VP 

dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Đúng thì xin cái like !! hihi 

Cho tam giác ABC , đường cao AH , lấy I trên tia AH , I nằm ngoài tam giác ABC , BI ,CI lần lượt cắt AC,AB tại E và F ,HF ,HE lần lượt cắt AB,AC tại M,N CMR BN ,CM ,AH đồng quy (Nguyễn Ngọc Hiếu)

Cho a,b,c > 0 , abc=1 CMR

$\frac{1+a+ab}{b+ac+2}+\frac{1+b+bc}{c+ab+2}+\frac{1+c+ac}{a+bc+2}\geqslant \frac{9}{4}$

(Nguyễn Ngọc Hiếu)

@MOD : chú ý cách đặt tiêu đề

Cho tam giác ABC nội tiếp (O),đường cao AH, lấy I bất kỳ trên AH ,. Tia BI,CI cắt (O) tại P và Q ,cắt AC và AB tại M và N, 

CMR $\measuredangle QHM=\measuredangle PHN$ (Nguyễn Ngọc Hiếu)

(bài hình đầu tiên tự nghĩ dễ quá đừng có ném gách hihi)

bạn có thể tìm hiểu ở đây , ( bài thứ 21 )