Huy Huynh

Cách chứng minh bằng SOS hoặc dồn biến thì biết cách rồi nhưng liệu còn cách chứng minh khác không ( vD như cauchy hay các bất đẳng thức khác ) 

Dùng cách khác cũng sẽ ra nhưng vs 1 con đường dài hơn @@ Vs lại nếu nói về S.O.S thì VN mình vẫn chưa đi sâu lắm. Mình cũng mới học S.O.S gần đây nên khi luyện tập thì đây là bài cơ bản nhất nên nói thế thôi ^^

Ta có :

 

 $\sum \frac{a}{a^2+1}=\sum \frac{a^2}{a^3+a}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum a^3+\sum a}=\frac{1}{\sum a^3+1}$

 

$= > D\geq \frac{1}{\sum a^3+1}+\frac{1}{9abc}=\frac{1}{\sum a^3+1}+\frac{1}{30abc}+\frac{7}{90abc}\geq \frac{(1+1)^2}{\sum a ^3+30abc+1}+\frac{7}{90.\frac{(\sum a)^3}{27}}=\frac{4}{\sum a^3+30abc+1}+\frac{7}{90.\frac{1}{27}}=\frac{4}{(\sum a^3+24abc)+6abc+1}+\frac{21}{10}\geq \frac{4}{\sum a^3+3(a+b)(b+c)(c+a)+6.\frac{(\sum a)^3}{27}+1}+\frac{21}{10}=\frac{4}{(\sum a)^3+6\frac{(\sum a)^3}{27}+1}+\frac{21}{10}=\frac{4}{1+\frac{6}{27}+1}+\frac{21}{10}=\frac{39}{10}= > D\geq \frac{39}{10}$

 

Dấu =xảy ra khi $< = > \left\{\begin{matrix} a=b=c & & \\ a+b+c=1& & \\ \sum a^3+1=30abc& & \end{matrix}\right.< = > a=b=c=\frac{1}{3}$

chỉ em cách tìm hệ số đế áp dụng BĐT trên đc ko ^^

Đặt $y=\sqrt[3]{x^{5}-2x}$ ( $y\in R$ )

        =>$x=\sqrt[5]{y^{3}+2x}$ ( $x\in R$ )

Lại có $y=\sqrt[5]{x^{3}+2x}$

Suy ra hệ  $\left\{\begin{matrix} x=\sqrt[5]{y^{3}+2x}\\y=\sqrt[5]{x^{3}+2x} \end{matrix}\right.$

                 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{5}=y^{3}+2x\\y^{5}=x^{3}+2x \end{matrix}\right.$

Trừ 2 PT trên cho nhau ta thu đc : $x^{5}-y^{5}=y^{3}-x^{3}$

                                                       $\Leftrightarrow x^{5}-y^{5}+x^{3}-y^{3}=0$

                                                       $\Leftrightarrow (x^{3}-y^{3})(x^{2}+y^{2})-x^{2}y^{2}(x-y)+x^{3}-y^{3}=0$

                                                       $\Leftrightarrow (x-y)((x^2+xy+y^2)(x^2+y^2+1)-x^2y^2)=0$

Mà $(x^2+xy+y^2)(x^2+y^2+1)-x^2y^2$ > 0 (phân tích chút là ra)

Nên x=y  

$\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{x^5-2x}$

$\Leftrightarrow x^3=x^5-2x$

$\Leftrightarrow x(x^4-x^2-2)=0$

$\Leftrightarrow x(x^2+1)(x^2-2)=0$

$\Leftrightarrow$ x=0 hoặc $x=\pm \sqrt{2}$

Vậy PT có 3 nghiệm là $0,\sqrt{2},-\sqrt{2}$

$A=\frac{b+c+5}{1+a}+\frac{c+a+4}{2+b}+\frac{a+b+3}{3+c}$

$A+3=\frac{b+c+5}{1+a}+1+\frac{c+a+4}{2+b}+1+\frac{a+b+3}{3+c}+1$

$A+3=\frac{a+b+c+6}{1+a}+\frac{a+b+c+6}{2+b}+\frac{a+b+c+6}{3+c}$

$A+3=(a+b+c+6)(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{3+c})$

Dễ dàng c/m đc BĐT $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 9$

thay a+1=x; b+1=y; c+1=z => x+y+z=a+b+c+6

suy ra $A+3\geq 9$ 

           $\Leftrightarrow A\geq 6$

Dấu bằng xảy ra khi 1+a=2+b=3+c và a+b+c=6

                                 =>a=3, b=2, c=1

Ta biến đổi BĐT cần c/m tương đương:

$\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+c+a}+\frac{c}{3c+b+a}\leq \frac{3}{5}$ (1)

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}-\frac{a}{3a+b+c}+\frac{1}{2}-\frac{b}{3b+c+a}+\frac{1}{2}-\frac{c}{3c+a+b}\geq \frac{3}{2}-\frac{3}{5}$

$\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{3a+b+c}+\frac{a+b+c}{3b+c+a}+\frac{a+b+c}{3c+a+b}\geq \frac{9}{10}$

$\Leftrightarrow 5(a+b+c)(\frac{1}{3a+b+c}+\frac{1}{3b+c+a}+\frac{1}{3c+a+b})\geq 9$ (2)

T dễ dàng c/m đc BĐT quen thuộc sau : $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 9$ ( các bạn tự c/m lại nha ^^)

Thay 3a+b+c=x; 3b+c+a=y; 3c+a+b=z => x+y+z = 5(a+b+c)

Suy ra BĐT (2) đc c/m => ĐPCM

Cho $A=\frac{(\sqrt{3x}-1)^{2}}{\sqrt{3x}-2}$.

Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.

 Mình nghĩ các dễ nhất để làm dạng này lad đặt A=a rồi nhân chéo 2 về của đẳng thức.

Gọi $\sqrt{x}$=y để dễ toán. 

Tiếp theo ta dùng tam thức bậc 2 r xét $\bigtriangleup \geq 0$ 

Dùng giả thiết a nguyên, y nguyên để chặn miền x lại
Mình chỉ nói hướng thôi còn trình bày thì tự bạn nhá ^^

Tiếc gì 1 like

Giải Phương Trình Vô Tỷ 

 $\sqrt{2x-1} + x^{2} -3x +1= 0$

cách của mình nha ^^