Rikka 21

Bài 6

Đặt BC = a ; CA = b ; AB = c . Ta sẽ biểu thi a và c theo b.

Ta có  a²  - c²  = b²  (1)

Ta chứng minh được hai tam giác ABD đồng dạng với tam giác IBM (g.g),

suy ra $\angle ABD = \angle IMB$, $\Rightarrow \angle IMC = \angle IDC$

$\Rightarrow \angle MIC = \angle DIC$

Suy ra $\Delta MIC = \Delta DIC (g.c.g)$ $\Rightarrow MC = DC$.

Do đó a = 2DC; c = 2AD ( theo tính chất đường phân giác).

Suy ra a + c = 2(DC + AD) = 2AC = 2b

Thay vào (1) , giả sử b$\geq$c, ta được $a = \frac{5b}{4}; c = \frac{3b}{4}$.

Do đó a : b : c = $\frac{5}{4} : 1 : \frac{3}{4} = 5 : 4 : 3$

Vậy AB : BC : CA = 3 : 5 : 4