duyanh782014

Cho a,b,c >0,abc=1.Tìm max $P=\frac{a}{b^{2}+c^{2}+a}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}+b}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}+c}$

$A=\frac{x}{x^{4}+y^2}+\frac{y}{y^{4}+x^2}=\frac{2}{x^{3}+y^3}=1$

$x^{3}+y^3\geq xy(x+y)\geq 2$

$A=\frac{x}{x^{4}+y^2}+\frac{y}{y^{4}+x^2}=\frac{2}{x^{3}+y^3}=1$ là sao bạn

Cho x,y là các số thực dương thoả mãn $x+y\leq 1$.Chứng minh rằng:$\frac{1}{x^{2}+xy}+\frac{1}{y^{2}+xy}\geq 4$

Chứng minh rằng với a,b,c là các số thực dương thì P=$\frac{3}{a+b}+\frac{18}{3b+4c}+\frac{9}{c+6a}\leq \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$

Chú ý:  Cách gõ công thức Toán.

             Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Cho $a,b,c> 0$.CMR $\frac{a^{3}}{bc}+\frac{b^{3}}{ac}+\frac{c^{3}}{ab}\geq a+b+c$

Cho $a,b,c> 0$.CMR $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Cho $a,b,c\geq 0$,$a+b+c=1$.CMR $a+b+2c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$

Bạn có thể giải thích kĩ hơn không bạn sao lại 16 đội đấu với 15 đội.Mà cái công thức kia là ở đâu ra bạn giải thích dùm mình với

Chẳng nhẽ tự đấu với chính mình hả bạn

Cách này nó không khả dụng lắm vì nó thuộc dạng khó chứng minh.(mất hàng thế kỷ mới giải được). Nên cấp THPT,CS không nên giải theo cách này

 

 

 

Bài giải của bạn chuẩn rồi.

Mình mới học lớp 8 nên hiểu biết nông cạn lắm

Trước hết ta có thể giả sử x, y, z là bộ ba số nguyên tố cùng nhau. Thật vậy:

  Nếu bộ ba số x₀, y₀, z₀ thỏa mãn   (3) và có ƯCLN là d. Giả sử x₀ = d.x_1;  y₀ = d.y_1;  z₀ = d.z₁ thì x₁, y₁, z₁ cũng là nghiệm của (3)

- Với x, y, z nguyên tố cùng nhau thì chúng đôi một nguyên tố cùng nhau. Ta thấy x và y không thể cùng chẵn ( vì chúng nguyên tố cùng nhau ) và không thể cùng lẻ ( vì nếu x và y cùng lẻ thì z chẳn, khi đó x² + y² chia 4 dư 2 còn $z^2  \vdots 4$ ). Như vậy trong hai số x² và y² phải có một số chẵn và một số lẻ.

    Giả sử x lẻ, y chẵn thì z lẻ. Ta viết (3) dưới dạng:   $x^2  = \left( {z + y} \right)\left( {z - y} \right)$

Ta có z + y và z - y là các số lẻ và nguyên tố cùng nhau. Thật vậy giả sử $z + y \vdots d$; $z - y \vdots d$   ( d lẻ ) thì:

                       $\left( {z + y} \right) - \left( {z - y} \right) = 2y \vdots d$

                      $\left( {z + y} \right) + \left( {z - y} \right) = 2z \vdots d$

Do (2, d) = 1 nên d là ƯC ( z, y ) mà (z, y) = 1 nên d = 1. Vậy (z + y; z - y) = 1

  Hai số nguyên dương z+y và z - y nguyên tố cùng nhau có tích là 1 số chính phương nên mỗi số trên đều là số chính phương

Đặt  $\left\{\begin{matrix} z+y=m^{2} & \\ z-y=n^{2}& \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=mn\\ y=\frac{m^{2}-n^{2}}{2}\\ z=\frac{m^{2}-n^{2}}{2} \end{matrix}\right.$      

với m và n là các số lẻ nguyên tố cùng nhau và m > n

Đảo lại, dễ thấy bộ 3 số trên thỏa mãn (3)

 

 

 

 

KHTN giỏi v

1. Theo đề bài thì d | $n^2 + 1$ và d | $\left( {n + 1} \right)^2 + 1$, hay d | $n^2 + 2n + 2$. Khi đó d | 2n+1. Suy ra d | $4n^2 + 4n + 1$, do đó d | $4\left( {n^2 + 2n + 2} \right) - \left( {4n^2 + 4n + 1} \right)$ hay d | 4n + 7. Cho nên d | (4n+7) – (2n + 1) hay d | 5, suy ra d chỉ có thể bằng 1 hoặc 5.
2. Ta có ($x^2 $ + 1) | x + 8, suy ra ($x^2 $ + 1) | $x^2 $ + 8x, do đó
($x^2 $ + 1) | 8x – 1, dẫn tới ($x^2 $ + 1) | 8(x + 8) – (8x – 1), hay ($x^2 $ + 1) | 65. Nói cách khác thì $x^2 $ + 1 phải là ước dương của 65. Như vậy $x^2 $ + 1 {1, 5, 13, 65}. Từ đó dễ dàng tìm được x.
PHÉP CHIA HẾT, PHÉP CHIA CÓ DƯ, ĐỒNG DƯ THỨC
Để làm quen với số học thì việc đầu tiên, hãy biết đến các bài toán chia hết, vì nó là một khái niệm cơ bản và cũng là trọng tâm của số học. Những bài toán về chia hết có thể nói là không thể thiếu trong số học nói riêng và toán học nói chung. Trên thế giới có nhiều bài toán về chia hết rất hay, và cũng có những phương pháp chứng minh nó với một cách khá thú vị và bổ ích. Nay tôi xin tổng hợp lại những phương pháp đó.
Khi có số nguyên a và số tự nhiên b, một trong những câu hỏi hiển nhiên được đặt ra là: Liệu a có chia hết cho b không ? Và làm cách nào để biết được điều đó ? Những câu hỏi đó sẽ được trả lời ngay, sau khi bạn đọc được vấn đề này.
1.1 Các số nguyên và các phép tính số nguyên
Tập hợp các số nguyên gồm các số tự nhiên 1, 2, 3,...; số 0 và các số
nguyên âm -1, -2, -3, ... Trong tập hợp đó luôn luôn thực hiện được phép cộng và phép trừ. Nói cách khác, nếu m và n là các số nguyên, thì tổng m + n của chúng cũng là số nguyên. Hơn nữa, với hai số nguyên m,n tùy ý tồn tại duy nhất một số x thỏa mãn phương trình
n + x = m.
Số đó được gọi là hiệu của hai số m và n đồng thời kí hiệu bằng m – n. Hiệu hai số nguyên bất kì cũng là số nguyên.
Trong tập hợp các số nguyên cũng luôn luôn thực hiện được phép nhân, nghĩa là, nếu m và n là các số nguyên, thì tích m.n cũng là số nguyên.Tuy vậy, phép chia (là phép tính ngược của phép nhân) không phải khi nào cũng thực hiện được trong tập hợp số nguyên. Kết quả của phép chia số a cho số b khác 0 là số x được kí hiệu bằng a : b hoặc thỏa mãn phương trình
bx = a
Số x đó tồn tại và duy nhất. Song kết quả của phép chia một số nguyên cho một số nguyên khác không phải khi nào cũng là một số nguyên. Thí dụ, các thương 3 : 2, 6 : 5, (-50) : 7, (-60) : (-21) không phải là các số nguyên. Điều đó có nghĩa là phép chia không phải luôn luôn thực hiện được trong tập hợp các số nguyên. Thương của phép chia số nguyên a cho số nguyên b 0 có thể không thuộc tập hợp các số nguyên; còn chính trong tập hợp các số nguyên không tìm được một số nào để ta có thể gọi là thương của phép chia a cho b.
Dĩ nhiên vẫn tồn tại trường hợp thương của phép chia một số nguyên cho một số nguyên khác cũng là một số nguyên, chẳng hạn
8 : (-2) = -4, 48 : 12 = 4, (-6) : 6 = 1
Định nghĩa 1.1. Nếu a và b (b khác 0) là các số nguyên, mà thương a chia b cũng là số nguyên, thì ta nói rằng a chia hết cho b (hay a là bội của b, hay b là ước của a) và ta kí hiệu b|a.
Ta cũng có thể nói rằng số nguyên a chia hết cho số nguyên b khác 0 khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên k sao cho a = bk. Cũng xin lưu ý rằng khi ta nói số nguyên a chia hết cho b thì a cũng chia hết cho – b nên ta chỉ xét các ước nguyên dương của a. Chẳng hạn như số 48 có các ước là 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 48, 24 và ta chỉ xét các ước dương của 48 là 1, 2, 3, 4, 6, 8, 24, 48.
Tuy vậy ta chỉ có thể nói a b khi và chỉ khi b khác 0. Trường hợp b = 0 thì thương a : b không thể xác định, nghĩa là biểu thức a : 0 hay $\dfrac{a}{0}$ không có nghĩa.
Ngược lại, khi a = 0 (đương nhiên với mọi b khác 0) thì thương a : b luôn được xác định và bằng 0 vì trong trường hợp này số không chính là số nguyên, nên nó sẽ chia hết cho mọi số nguyên khác 0 (ngoài ra thương bằng 0).
$\dfrac{0}{b}$khi b khác 0.
Vì 0 = 0. n, nên ta luôn có n | 0 với mọi số nguyên n. Cũng với mọi số nguyên n bất kì, thì các bội của n sẽ là
0, n , 2n ... Thật dễ dàng khi đoán chắc rằng các bội của n là một dãy các số nguyên, với hai số liền nhau hơn kém nhau n đơn vị.
Ta có thể viết a chia hết cho b bằng cách khác như hay b|a (tức b là ước của a), còn b a để chỉ a không chia hết cho b.
Mình cũng đã giới thiệu với các bạn một số định lý chia hết ở trên và cách chứng minh cho mỗi định lý, và bây giờ mình mong các bạn có thể đưa lên một số tính chất của phép chia hết. Xin thank

Giỏi quá

Đặt $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{x}\Rightarrow a+b+c=x$

Xét $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{x}$

$\Rightarrow x(ab+bc+ac)=abc\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)=abc$

$\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$

Nên luôn có ít nhất 2 số đối nhau

Giả sử 2 số là $a$ và $b$ . Thay $b=-a$ ta có 

$\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n}+\frac{1}{(-a)^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n}$ với n lẻ

Tương tự $\frac{1}{a^n+b^n+c^n}=\frac{1}{a^n+(-a)^n+c^n}=\frac{1}{c^n}$ với n lẻ

$\Rightarrow đpcm$

P/s : Mình nghĩ n phải lẻ chứ nếu n chẵn và n>0 ta luôn có $a^n=(-a)^n$ thay vào ta thấy trái với đề bài

Cần gì đặt 1/a+1/b+1/c=1/x làm gì,mà n lẻ đấy đề thiếu rồi