cachuoi

bài này đã giải cách đây vài tuần rồi 

 cho y=0 suy ra f(f(x))=0 với mọi x

thay x bởi f(x) vào đề có ngay f(y)=y.f(f(x)-f(y)) cho x=y đc ngay f(y)=y.f(0)
dễ chứng minh f(0)=0 vậy f(x)=0

quên mất , xin lỗi bạn 
bài này chỉ là 1 dạng của phương trình hàm cauchy thôi 
dễ thấy f là toàn ánh suy ra tồn tại t sao cho f(t)=0 thay x=y=t đc ngay f(0)=0
cho x=0 thì được f(f(y)=y

đặt f(y)=m thì f(m+x)=f(m)+f(x) 
trong tiêu chuẩn hàm cauchy thì f cộng tính bà f bị chặn khi x bị chặn đủ kết luận f(x)=ax thử lại được f(x)=+-x

 bài 2 cũng dùng dirichlet thôi

cách 2 cho bài 1 rất ngắn gọn 
giả sử trong 3 số abc có 2 số a và b cùng phía với 1 khi đó ab+1 >= a+b tức là a+b <= 1/c+1 
do vậy ta chỉ cần chứng minh 
sigma 1/a^2 + 3>= 2/c +2c+2 
áp dụng am gm 1/a^2+1/b^2 >= 2/ab =2c vậy ta chỉ cần cm 1/c^2 +3 >= 2/c +2 đúng theo am gm

tìm hàm f từ R vào R 
thỏa mãn f(y+f(x))= f(x).f(y)+f(f(x))+f(y)-xy

a có một đống nhưng toàn trong vở thôi , e hỏi mấy bạn học thêm thầy đức thì có đấy

bài này đơn giản thôi , đặt a+b+c =t 
suy ra ab+bc+ca=(t^2-1)/2  
ta có ngay a+b=t-c
a.b=t^2-1-c(a+b) đến đây thay a+b=t-c vào thì có a.b=t^2-1-c(t-c) 
giải bpt ẩn t và c chú ý rằng (a+b)^2>=4ab 
thì được ngay c>= -căn (4-3.t^2)/căn 3 tương tự vs b và a
từ đây xét  (a+căn (4-3.t^2)/căn 3).(b+căn (4-3.t^2)/căn 3).(c+căn (4-3.t^2)/căn 3) >=0 suy ra được abc >=.....
xét hàm ẩn t là xong

viết nốt đoạn f(0)=0
cho y=0 ta có ngay f(x^2)=f(x)^2 suy ra f(x)>=0 với mọi x>=0 chú ý từ đây dễ dàng suy ra f là hàm lẻ
thay y bởi -x^2 vào bài ta có ngay f(f(-x^2)=f(x^2)-2.x^2 sử dụng tính chất hàm lẻ thì có ngay f(f(x^2)+f(x^2)=2.x^2 tương tự thì cũng có f(f(-x^2))+f(-x^2)=-2.x^2
vậy ta có với mọi x thuộc R thì f(f(x)+f(x)=2x đến đây dùng dãy số thì có ngay f(x)=x với mọi x thuộc R 
còn 1 trường hợp số rất xấu kia thì cụ thể là a và t đều là số âm nên thay x ằng căng (-a) vào y=0 là suy ra vô lý ngay

dễ thấy f là toàn ánh nến tồn tại t sao cho f(t)=0 
đặt f(0)=a 
thay y=t x=0 vào bài ta đc a^2 +2t=0 từ đây dễ thấy ngay được f(x)==0 khi và chỉ khi x=t
tiếp tục thay x suy ra f(t^2 +a)=0 suy ra ngay t^2+a=t
vậy ta được hệ phương trình 2 ẩn a và t

giải ra ta được một nghiệm đẹp và 1 nghiệm xấu là t=0 và t=-.....
có thể tự giải tiếp , muộn quá a chưa nghĩ ra tiếp đc ;v
 

P(x) là đa thức thì có dạng xác định là a_0.x^n +...+an
còn f(x) là hàm thì mình chưa biết đc nó ở dạng nào

đạo hàm 

được bạn nhé , đây là pt hàm cơ bản, bạn có thể xem trong tài liệu chuyên toán 12 phần ví dụ của pt hàm trên tập số thực