Nguyen Hai Bang

Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh: $\sum \frac{a}{1+(b+c)^2} \leq \frac{3}{5}$

Cho hai đường tròn $(C_{1}), (C_{2})$ cắt nhau tại C,d. Tâm O của $(C_{2})$ trên $(C_{1})$.A thuộc $(C_{1})$ sao cho AC là tiếp tuyến của $(C_{2})$, B thuộc $(C_{2})$ sao cho BC là tiếp tuyến của $(C_{1})$. Đoạn AB cắt $(C_{1}),(C_{2})$ tại F; E. CE cắt $(C_{1})$ tại G; CF cắt GD tại H. OG cắt EH tại J

a, Chứng minh CE=CF và tứ giác FDGC là hình thang cân

b, Chứng minh rằng: J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF

Cho $a_1, a_2, ..., a_n$ là các số thực dương. Chứng minh: $(a_1+a_2+...+a_n)^2 \geq n(a_1a_2+a_2a_3+...+a_{n-1}a_n)$

$1) \sqrt[3]{x^2-2}=\sqrt{2-x^3}$

$2) \sqrt{1-x^2}=(\frac{2}{3}-\sqrt{x})^2$

Giải phương trình:  $\sqrt{5x^2+14x-9} - \sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$

Cho $a, b, c>0$. Chứng minh:

$ \dfrac{a^2}{2a^2+(b+c-a)^2}+\dfrac{b^2}{2b^2+(c+a-b)^2}+\dfrac{c^2}{2c^2+(a+b-c)^2} \leq 1$

Cho $x,y \in [0;1]$. CMR: $\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}} \leq \dfrac{2}{\sqrt{1+xy}}$

Vì giá trị của u, v là bất kì nên ta đặt $u=\dfrac{1}{n}, v=\frac{1}{n+1}$ (n nguyên dương) 

Ta có: $\dfrac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}=\dfrac{2(n+1)}{n(n+1)}=\frac{2}{n}$

Tiếp tục lấy kết quả trên cộng với $\frac{1}{n+2}$: $\dfrac{2}{n}+\frac{1}{n+2}=\frac{3}{n}$

Tương tự, sau 2014 lần ta có kết quả là $\frac{2015}{n}$. Thay n=1, ta có số cuối cùng là 2015.

1) Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn x+y+z=3. CMR: $2(x^2+y^2+z^2)+xyz \geq 7$

Kí hiệu $q(n)=[\dfrac{n}{[\sqrt{n}]}]$ với n = 1, 2, 3, ... trong đó [x] là phần nguyên của x. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $q(n)>q(n+1)$ 

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ($m,n$) có bốn chữ số thỏa mãn:
1. Hai chữ số của m cũng là hai chữ số của $n$ ở các vò trí tương ứng. . Hai chữ số còn lại của $m$ nhỏ hơn hai chữ số tương ứng của $n$ đúng 1 đơn vị.
2. $m$ và $n$ đều là số chính phương.

Cho $x \leq 1, x+y \geq 3$. Tìm GTNN của $B=3x^2+y^2+3xy$