NAGATOPain

Ta có :

$(x+y+z)^3 = (x+y)^3 + 3(x+y)z(x+y+z) + z^3$

$= x^3+y^3+z^3+3xy(x+y)+3(x+y)(xz+yz+z^2)= x^3+y^3+z^3 + 3(x+y)(y+z)(x+z)$

Suy ra :

$x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)^3 - 3(x+y)(y+z)(x+z) - 3xyz$

mà $(x+y)(y+z)(x+z) - xyz = (x+y+z)(xy+yz+zx)$

nên $x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)^3 - 3(x+y+z)(xy+yz+xz) = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-xz)$

Thử đặt $\sqrt{x+1} = a; \sqrt[3]{x+5} = b (a \geq 0)$

Ta được hệ :

$\left\{\begin{matrix} 2a + 8b = a^2.b^3\\ b^3-a^2 = 4 \end{matrix}\right.$

Nếu không được thì liên hợp thử.

bạn cho mình hỏi cái bdt đó ở đâu vậy, chứng minh được không?

Cái đó là bất đẳng thức cơ bản mà bạn ... có thể chứng minh trực tiếp hoặc dùng AM - GM,...

Ta có : $x+y+z = a \Leftrightarrow (x+y+z)^2 = a^2$

Áp dụng bất đẳng thức : $xy+yz+xz \leq \frac{(x+y+z)^2}{3} = \frac{a^2}{3}$

Vậy GTLN của xy + yz + xz là $\frac{a^2}{3}$ khi x = y = z = $\frac{a}{3}$

1. Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có : 

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$ ; $y+z\geq 2\sqrt{yz}$ ; $x+z\geq 2\sqrt{xz}$ 

Cộng vế với vế : $2(x+y+z)\geq 2\sqrt{xy}+ 2\sqrt{yz}+2\sqrt{xz}$ $\Leftrightarrow x+y+z\geq \sqrt{xy}+ \sqrt{yz}+\sqrt{xz}$

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z

=> ĐPCM.

2. Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số dương : 

$\prod_{i=1}^{n}(1+a_i) \geq \prod_{i=1}^{n}2\sqrt{a_i} = 2^n.\prod_{i=1}^{n} \sqrt{a_i}$

mà $a_1.a_2...a_n = 1$ => VP = $2^n$

Ta được ĐPCM

Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = ... = an = 1