Ta có: $4ab-1 \mid (a+b-1)(a+b+1)<=>4ab-1\mid (a-b)^2+(4ab-1)$
$<=>4ab-1 \mid (a-b)^2$.Đến đây ta đặt $k_0=\frac{(a-b)^2}{4ab-1}$
$<=>2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$.Ta tiếp túc đặt $k=2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$
Với $k=1$ ta có $k_0=0$ kéo theo $a=b$
Với $k>1:$
$PT<=>2a^2-4kba+2b^2-1=0$ $(*)$. Giả sử $a\geqslant b$ và $a+b$ nhỏ nhất
Theo định lí Viet $PT(*)$ còn nghiệm $t$ sao cho: $\left\{\begin{matrix}t+a=2kb\\ ta=b^2-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$
Suy ra $t$ là số nguyên dương và do tính nhỏ nhất của $a+b$ nên $t\geqslant a\geqslant b$
$=>2kb=t+a\leqslant 2t<=>2kab\leqslant 2ta<=>2ta\geqslant 2kb^2$
$<=>2b^2-1\geqslant 2kb^2<=>2b^2(1-k)\geqslant 1$ (vô lí)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Tại sao xét k=$2k_{0}+1$, có thể chứng minh a=b từ $k_{0}$ được không?
pl01
Thống kê
- Nhóm: Thành viên
- Bài viết: 72
- Lượt xem: 1881
- Danh hiệu: Hạ sĩ
- Tuổi: 24 tuổi
- Ngày sinh: Tháng sáu 15, 1999
-
Giới tính
Nam
-
Đến từ
End Of Earth
Công cụ người dùng
Bạn bè
pl01 Chưa có ai trong danh sách bạn bè.
Lần ghé thăm cuối
Trong chủ đề: Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số nguyên dương thỏa mãn 4ab-1 là ước của (a...
26-06-2016 - 18:48
Trong chủ đề: Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số nguyên dương thỏa mãn 4ab-1 là ước của (a...
26-06-2016 - 18:18
Ta có: $4ab-1 \mid (a+b-1)(a+b+1)<=>4ab-1\mid (a-b)^2+(4ab-1)$
$<=>4ab-1 \mid (a-b)^2$.Đến đây ta đặt $k_0=\frac{(a-b)^2}{4ab-1}$
$<=>2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$.Ta tiếp túc đặt $k=2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$
Với $k=1$ ta có $k_0=0$ kéo theo $a=b$
Với $k>1:$
$PT<=>2a^2-4kba+2b^2-1=0$ $(*)$. Giả sử $a\geqslant b$ và $a+b$ nhỏ nhất
Theo định lí Viet $PT(*)$ còn nghiệm $t$ sao cho: $\left\{\begin{matrix}t+a=2kb\\ ta=b^2-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$
Suy ra $t$ là số nguyên dương và do tính nhỏ nhất của $a+b$ nên $t\geqslant a\geqslant b$
$=>2kb=t+a\leqslant 2t<=>2kab\leqslant 2ta<=>2ta\geqslant 2kb^2$
$<=>2b^2-1\geqslant 2kb^2<=>2b^2(1-k)\geqslant 1$ (vô lí)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Trong chủ đề: Chứng minh HF là phân giác góc BHC
13-06-2016 - 21:19
EF cắt BC tại L => (LFBC)=-1
từ F kẻ đường vuông góc HF cắt HB,HC tại B',C'
phép chiếu xuyên tâm H trên đường thẳng B',C' biến
B thành B'
C thành C'
F thành F
L ra vô cùng
(LFBC)=-1
suy ra FB'=FC'
suy ra tam giác HB'C' cân
suy ra HF là phân giác góc BHC
Có cách nào giải thuần túy theo hình học cấp 2 không bạn
Trong chủ đề: $A=\frac{n(n+1)}{2}$ và $B=n+2$
22-05-2016 - 18:31
1.Đặt $d=(A,B)$
$=>2n+1\vdots d$ và $\frac{n(n+1)}{2}\vdots d$
Ta có:
*$2n+1\vdots d<=>2n^2+n\vdots d$
**$\frac{n(n+1)}{2}\vdots d<=>2n^2+2n\vdots d$
$=>n\vdots d<=> 1\vdots d$
$=>d=1$ hay $(A,B)=1$
từ chỗ n chia hết cho d có suy ra d=n đc k bạn
Trong chủ đề: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y...
02-12-2015 - 00:08
Ta có:
$\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}=\frac{a+2-2}{a+2}+\frac{b+2-2}{b+2}+\frac{c+2-2}{c+2} =3-2(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2})=1 (dpcm)$
- Diễn đàn Toán học
- → Đang xem trang cá nhân: Bài viết: pl01