Đến nội dung

pl01

pl01

Đăng ký: 27-11-2014
Offline Đăng nhập: 29-10-2016 - 22:01
-----

Trong chủ đề: Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số nguyên dương thỏa mãn 4ab-1 là ước của (a...

26-06-2016 - 18:48

 

Ta có: $4ab-1 \mid (a+b-1)(a+b+1)<=>4ab-1\mid (a-b)^2+(4ab-1)$

$<=>4ab-1 \mid (a-b)^2$.Đến đây ta đặt $k_0=\frac{(a-b)^2}{4ab-1}$

 

$<=>2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$.Ta tiếp túc đặt $k=2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$

 

Với $k=1$ ta có $k_0=0$ kéo theo $a=b$

 

Với $k>1:$

$PT<=>2a^2-4kba+2b^2-1=0$ $(*)$. Giả sử $a\geqslant b$ và $a+b$ nhỏ nhất

 

Theo định lí Viet $PT(*)$ còn nghiệm $t$ sao cho: $\left\{\begin{matrix}t+a=2kb\\ ta=b^2-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$

 

Suy ra $t$ là số nguyên dương và do tính nhỏ nhất của $a+b$ nên $t\geqslant a\geqslant b$

$=>2kb=t+a\leqslant 2t<=>2kab\leqslant 2ta<=>2ta\geqslant 2kb^2$

$<=>2b^2-1\geqslant 2kb^2<=>2b^2(1-k)\geqslant 1$ (vô lí)

 

Vậy ta có điều phải chứng minh

Tại sao xét k=$2k_{0}+1$, có thể chứng minh a=b từ $k_{0}$ được không?


Trong chủ đề: Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số nguyên dương thỏa mãn 4ab-1 là ước của (a...

26-06-2016 - 18:18

Ta có: $4ab-1 \mid (a+b-1)(a+b+1)<=>4ab-1\mid (a-b)^2+(4ab-1)$

$<=>4ab-1 \mid (a-b)^2$.Đến đây ta đặt $k_0=\frac{(a-b)^2}{4ab-1}$

 

$<=>2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$.Ta tiếp túc đặt $k=2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$

 

Với $k=1$ ta có $k_0=0$ kéo theo $a=b$

 

Với $k>1:$

$PT<=>2a^2-4kba+2b^2-1=0$ $(*)$. Giả sử $a\geqslant b$ và $a+b$ nhỏ nhất

 

Theo định lí Viet $PT(*)$ còn nghiệm $t$ sao cho: $\left\{\begin{matrix}t+a=2kb\\ ta=b^2-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$

 

Suy ra $t$ là số nguyên dương và do tính nhỏ nhất của $a+b$ nên $t\geqslant a\geqslant b$

$=>2kb=t+a\leqslant 2t<=>2kab\leqslant 2ta<=>2ta\geqslant 2kb^2$

$<=>2b^2-1\geqslant 2kb^2<=>2b^2(1-k)\geqslant 1$ (vô lí)

 

Vậy ta có điều phải chứng minh


Trong chủ đề: Chứng minh HF là phân giác góc BHC

13-06-2016 - 21:19

EF cắt BC tại L => (LFBC)=-1

từ F kẻ đường vuông góc HF cắt HB,HC tại B',C'

phép chiếu xuyên tâm H trên đường thẳng B',C' biến

B thành B'

C thành C'

F thành F

L ra vô cùng

(LFBC)=-1

suy ra FB'=FC'

suy ra tam giác HB'C' cân

suy  ra HF là phân giác góc BHC

Có cách nào giải thuần túy theo hình học cấp 2 không bạn


Trong chủ đề: $A=\frac{n(n+1)}{2}$ và $B=n+2$

22-05-2016 - 18:31

1.Đặt $d=(A,B)$

$=>2n+1\vdots d$ và $\frac{n(n+1)}{2}\vdots d$

Ta có:

*$2n+1\vdots d<=>2n^2+n\vdots d$

 

**$\frac{n(n+1)}{2}\vdots d<=>2n^2+2n\vdots d$

$=>n\vdots d<=> 1\vdots d$

$=>d=1$ hay $(A,B)=1$

từ chỗ n chia hết cho d có suy ra d=n đc k bạn


Trong chủ đề: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y...

02-12-2015 - 00:08

Ta có:

$\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}=\frac{a+2-2}{a+2}+\frac{b+2-2}{b+2}+\frac{c+2-2}{c+2} =3-2(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2})=1 (dpcm)$