Phuong Hoa 23

Bạn cần chứng minh bổ đề sau: với mọi x;y;z;t >0 ta có $\sqrt{xy}+\sqrt{zt}\leq \sqrt{(x+z)(y+t)}$ (dùng Cô si 2 số)
Thay y bởi c; x bởi (a-c); z bởi c; t bởi (b-c)
=> ĐPCM

uk mình nhầm

Phải là 2bc chứ, như vậy mới tạo thành hằng đẳng thức

Mình sửa rồi mà

Dòng đầu sao suy ra được là bằng hả bạn? ( mình không hiểu ????!!!!!)
Với lại LHS là gì vậy?

Bạn nhân VP sẽ ra được vế trái nhé

Phuonghoa 23 đo à ?

Kẻ tam giác đều BMC(M trên cạnh EC)
Kéo dài BM cắt AC tại N
=> Tam giác MNE đều

Dễ dàng tính được $\widehat{BNC}=40^{\circ}$
Ta có: Tam giac BCD cân tại C => DC=BC=CM=> tam giác CDM cân tại C
Suy ra $\widehat{MDC}=80^{\circ}$
Suy ra $\widehat{NMD}=40^{\circ}$
=> tam giác MND cân tại D => MD=ND
=> $\Delta NED=\Delta MED(c.c.c)\Rightarrow \widehat{MED}=\widehat{NED}=60^{\circ}:2=30^{\circ}$

a,b,c là số thực hay số nguyên?

Cho a,b,c > 0 và $a^2 + b^2 + c^2 = 3$ . Chứng minh bất đẳng thức sau :

$\frac{a}{b}+ \frac{b}{c} + \frac {c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$

a,b,c là các số thực dương thôi

Gọi O là giao điểm AC và BD, M là giao điểm GF và HD
EO là đường trung bình tam giác HDB => EO//HD, $EO=\frac{1}{2}HD$=> EO//MD
Lại có EM//OD=> EODM là hình bình hành => EO=MD=$\frac{1}{2}HD$ (*)
ta có: $\widehat{EGD}=\widehat{BDC}; \widehat{MDG}=\widehat{ACD}$. Mà $\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$ suy ra$\widehat{MGD}=\widehat{MDG}$
=> DM là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác FGD=> DM$\frac{1}{2}FG$(**)
Từ (*) và (**) => HD=FG

Không mất tính tổng quát giả sử OA$\leq$OC, OB$\leq$OD
Trên cạnh OC lấy M sao cho OA=OM
Trên cạnh OD lấy N sao cho ON=OB
=> $P(\Delta OAB)=P(\Delta OMN)$
Mà $P(\Delta OAB)=P(\Delta OCD)$=> $P(\Delta OCD)=P(\Delta OMN)$
=> MN=DN+CM+CD

=> D,N,M,C thẳng hàng=> MN=CD=AB và CD song song với AB
=> ABCD là hình bình hành=> OA=OC
Mà$P(\Delta OAB)=P(\Delta OBC)$=> AB=BC
=> ABCD là hình thoi

Bai 2: Thu voi n=1;2;3;4 ta chon n=1;3

Voi n >4 => 1!+2!+3!$1!+2!+3!+...+n!=1!+2!+3!+4!+5!+...+n!=33+\bar{A0}$(vi 5!;6!;... co tan cung la 0) hay tong nay co tan cung la 3 => Tong nay khong phai là so chinh phuong vi khong co so chinh phuong nao co tan cung la 3 => loai
Vay n=1;3
 

Bài 1: Ban tu chung minh bo đe sau: mot so chinh phuong chia 4 chi co the du 0 hoac 1 (1)
ma de bai la cac so chinh phuong le => cac so nay chia 4 du 1

=> tong 2 so nay chia 4 dư 2, mau thuan voi (1)
=> Đpcm

$\Leftrightarrow a+b+(a+b)^{2}=10a+b \Leftrightarrow (a+b)^{2}=9a=3^{2}a$ $\Rightarrow$ a là so chinh phuong
Ma 0<a<10 => a=1;4;9. Thu vao ta chon cac cap so $(a;b)=(1;2)=(4;2)=(9;0)$

Vay $\bar{ab}=12;42;90$

Bài 2: Vi bạn gõ khong ro nen minh coi $AB=l$ nhe

Ta có $\Delta AOB$ vuông tại O, OI là trung tuyên ung voi canh huyen $\Rightarrow$ OI=$\frac{1}{2}$ AB
AB khong doi $\Rightarrow$ OI khong doi $\Rightarrow$ I nam tren duong tron tam O ban kinh $\frac{l}{2}$ 

a)PT: Giả sử dựng được đường thằng d thoả mãn
Gọi D, E lần lượt là giao điểm của d với AB, AC. Giả sử D trên AB, E trên AC
Kẻ phân giác góc A, cắt DE tại O
Kẻ OH, OI, OK lần lượt vuông góc với AB, AC, BC =>  OH=OI

Ta có: P(ADE)= P(BDEC)
=>  AD+AE=BD+BC+CE => BC= AD+AE - BD - EC

Ta lại có: S(ADE) = S(BDEC)
<=> 2S(ADO) + 2S(AEO) = 2S(BDO) + 2S(BOC) + 2S(CEO) (nhân cả 2 vế với 2)

<=> OH.AD + OI.AE = OH.BD + OK.BC + OI.EC
<=> OH.(AD+AE)= OH.(BD+EC) +OK.BC

<=> OK.BC= OH.(AD+AE-BD-EC)= OH.BC 
<=> OK = OH hay OK=OH=OI
=> O là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác ABC
b)CD: gọi O là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác ABC, kẻ một đường thẳng d bất kì qua O
CM+ Biện luận thì bạn tự làm nhé

Bài 1: Từ đề bài

$\Rightarrow a^{2}b+a^{2}c-c^{2}a-c^{2}b=0 \Leftrightarrow (a^{2}b-ab^{2})+(a^{2}c-b^{2}c)=0 \Leftrightarrow (a-b)(ab+bc+ca)=0$

mà $a\neq b\neq c\Rightarrow a-b\neq 0 \Rightarrow ab+bc+ca=0$

ta có: $a^{2}(b+c)-c^{2}(a+b)$= $(a-c)(ab+bc+ca)$=0 (cách biến đổi tương tự như trên)

$\Rightarrow a^{2}(b+c)=c^{2}(a+b)=2012$

Gọi D, E lần lượt là giao điểm của d với AB, AC. Giả sử D trên AB, E trên AC
Kẻ phân giác góc A, cắt DE tại O
Kẻ OH, OI, OK lần lượt vuông góc với AB, AC, BC =>  OH=OI

Ta có: P(ADE)= P(BDEC)
\Rightarrow  AD+AE=BD+BC+CE => BC= AD+AE - BD - EC

Ta lại có: S(ADE) = S(BDEC)
<=> 2S(ADO) + 2S(AEO) = 2S(BDO) + 2S(BOC) + 2S(CEO) (nhân cả 2 vế với 2)

<=> OH.AD + OI.AE = OH.BD + OK.BC + OI.EC
<=> OH.(AD+AE)= OH.(BD+EC) +OK.BC

<=> OK.BC= OH.(AD+AE-BD-EC)= OH.BC 
<=> OK = OH hay OK=OH=OI
=> O là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác ABC
Vậy d luôn đi qua mọt điểm cổ định là O là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác ABC