Đến nội dung

JayVuTF

JayVuTF

Đăng ký: 10-12-2014
Offline Đăng nhập: Riêng tư
*****

#641681 $P = \dfrac{1}{x^2 + y^ 2 + 2} + \dfrac...

Gửi bởi JayVuTF trong 22-06-2016 - 07:26

Cho $x,y,z $ thuộc [0;2] thỏa mãn $x + y + z = 3 $.Tìm Max : 

 $$P = \dfrac{1}{x^2 + y^ 2 + 2} + \dfrac{1}{y^2 + z^ 2 + 2} + \dfrac{1}{z^2 + x^ 2 + 2} + \sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx}$$




#606508 CMR: $\sum \frac{x}{x+yz}\leq \f...

Gửi bởi JayVuTF trong 01-01-2016 - 17:11

Tham khảo theo cách giải LG : 
 
 
Giải hệ phương trình:
 $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1 \hspace{3.9cm}(1)\\ \frac{x}{x+yz} +\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy} = \frac{9}{4} \:\:\:\:\:\:\:(2) \end{matrix} \right.$
Giải:
Nhận thấy $x,y,z=0$ không phải là nghiệm hệ
Viết lại phương trình (1) dưới dạng $\sqrt{\frac{xy}{z}}\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{\frac{yz}{x}}\sqrt{\frac{yx}{z}}+\sqrt{\frac{zx}{y}}\sqrt{\frac{zy}{x}}=1$
Đặt $\sqrt{\frac{xy}{z}}= \tan \frac{A}{2} , \sqrt{\frac{xz}{y}}=\tan \frac{B}{2}, \sqrt{\frac{yz}{x}}=\tan \frac{C}{2}; A,B,C \in(0,\pi)$
ta được $\tan{\frac{A}{2}} \tan{\frac{B}{2}} + \tan{\frac{B}{2}} \tan{\frac{C}{2}}+\tan{\frac{C}{2}} \tan{\frac{A}{2}}=1$
Tương tự như ví dụ trên dễ dàng suy ra $A+B+C= \pi$
Phương trình (2):$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy} =\displaystyle \frac{1}{1+tan^2\frac{A}{2}}+\frac{1}{1+tan^2\frac{B}{2}}+\frac{1}{1+tan^2\frac{C}{2}}= \frac{9}{4}$
$\Leftrightarrow \cos^2 \frac{A}{2}+\cos^2 \frac{B}{2}+\cos^2 \frac{C}{2}=\frac{9}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{3+\cos A+\cos B+\cos C}{2}=\frac{9}{4}$
$\Leftrightarrow \cos A+ \cos B+\cos C= \frac{3}{2}$ 
$\Leftrightarrow 1-2\sin^2 \frac{A}{2} +2 \cos \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}= \frac{3}{2}$ 
$\Leftrightarrow 4\sin^2 \frac{A}{2} +2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}=\frac{3}{2}$ (*) 
$\triangle  ' =4(\cos^2 \frac{B-C}{2}-1) \geqslant 0 $ .Mặt khác $\cos^2 \frac{B-C}{2}-1 \leqslant 0$ 
 Nên (3) $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\sin \frac{A}{2}=\cos \frac{B-C}{2} \\ \sin \frac{B-C}{2}=0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi}{3}$ .
Từ đó suy ra $x=y=z=\frac{1}{3} \square$
 

 

Nguồn : VMF

 

 




#587408 Tìm x biết : 8x^3 - 6x - 1 =0

Gửi bởi JayVuTF trong 05-09-2015 - 16:00

Tìm x biết :

8x^3 - 6x - 1 =0 

$$8x^3-6x-1=0 \leftrightarrow 2x(4x^2-3)-1=0$$
 
Xét $$x >1 \rightarrow 4x^2-3 \geq 1 \rightarrow 2x(4x^2-3)-1 > 1 \neq 0$$
 
Xét $$x <-1 \rightarrow 4x^2-3 \geq 1 \rightarrow 2x(4x^2-3)-1 < -2 \neq 0$$
 
Xét $$-1 \leq x \leq 1 \rightarrow  đặt x=cost (t \epsilon ...)$$
 
$$\rightarrow 8x^3-6x-1=0 \leftrightarrow  cos3t=\dfrac{1}{2}=cos\frac{\pi }{3}$$



#575249 Tìm min, max của $P=x^4+y^6+z^8$

Gửi bởi JayVuTF trong 25-07-2015 - 15:32

Cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=0, $-1\leq x;y;z\leq 1$

Tìm GTNN, GTLN của biểu thức  $P=x^4+y^6+z^8$

Max 
 
Có : $$x^2(1-x^2)\ge 0 \leftrightarrow x^2 \ge x^4$$
$$y^2(1-y^4)\ge 0 \leftrightarrow y^2 \ge y^6$$
$$z^2(1-y^6)\ge 0 \leftrightarrow z^2 \ge z^8$$
$$\rightarrow  P \le x^2+y^2+z^2= (x+y+z)^2- 2(xy+yz+zx)=-2(xy+yz+zx)$$
Lại có : $$-1 \le x,y,z \le 1 \rightarrow (1-x)(1-y)(1-z)+(1+x)(1+y)(1+z)\ge 0$$ 
$$\leftrightarrow 2+2(xy+yz+zx)\ge 0 \leftrightarrow -2(xy+yz+zx) \le 2$$
 
$$\rightarrow P \le 2$$



#575202 Cho $a,b,c >0, a+b+c=1$.Cm : $5(a^2+b^2+c^2) \ge 6(a^...

Gửi bởi JayVuTF trong 25-07-2015 - 09:52

1. Cho $a,b,c >0, a+b+c=1$.Cm : $5(a^2+b^2+c^2) \le 6(a^3+b^3+c^3)+1$

 

2.Cho $a,b,c >0$ .Cm : $\frac{a^4+b^4+c^4}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c}\ge \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)$




#569889 $\sum \frac{a}{4b^{2}+1}\ge...

Gửi bởi JayVuTF trong 04-07-2015 - 16:23

Bạn ơi xem lại hộ mình cái. Link vào không được 

Vậy bạn xem tại Đây nhá 


  • LTH yêu thích


#569881 $\sum \frac{a}{4b^{2}+1}\ge...

Gửi bởi JayVuTF trong 04-07-2015 - 15:38

Xem tại Đây

 

Nguồn : HM




#563440 Chứng minh $\forall \bigtriangleup ABC$ ta có cosA + x(co...

Gửi bởi JayVuTF trong 04-06-2015 - 14:13

Chứng minh $\forall \bigtriangleup ABC$  ta có  cosA + x(cosB + cosC) $\leq \frac{x^2}{2}+1 \forall x \in \mathbb{R}$

 

Xem tại Đây




#560510 $8x(2x^2-1)(8x^4-8x^2+1)=1 $

Gửi bởi JayVuTF trong 20-05-2015 - 15:45

Giải PT bằng PP Lượng Giác :

 

$8x(2x^2-1)(8x^4-8x^2+1)=1  , x \in (0;1)$

 

 




#560158 $\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}(\sqrt{(1+...

Gửi bởi JayVuTF trong 18-05-2015 - 14:51

Giải PT sau  bằng PP Lượng Giác hóa

 

$ \sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}(\sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3} )=2+\sqrt{1-x^2}$

 

 




#556715 Chứng minh $1+\frac{1}{2}x^2\geqslant cosA...

Gửi bởi JayVuTF trong 28-04-2015 - 10:00

Cho tam giác ABC bất kì, chứng minh rằng:

$1+\frac{1}{2}x^2\geqslant cosA+x(cosB+cosC)$

 
$1+\frac{1}{2}x^2\geqslant cosA+x(cosB+cosC)$
 
$\leftrightarrow x^2-2(cosB+cosC)x-2cosA+2$
 
$\Delta'=(cosB+cosC)^2+2cosA-2=4[cos^2\frac{B+C}{2}.cos^2\frac{B-C}{2}-sin^2\frac{A}{2}]=4sin^2\frac{A}{2}(cos^2\frac{B-C}{2}-1)\leq 0$
 
$\rightarrow af(x)\geq 0  \rightarrow f(x)\geq 0$



#555923 $\cot A+\cot B+\cot C=R.\frac{a^2+b^2+c^2}...

Gửi bởi JayVuTF trong 23-04-2015 - 21:44

Cmr:
$\cot A+\cot B+\cot C=R.\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}$

Có : $cotA=\dfrac{cosA}{sinA}=\dfrac{\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{\dfrac{2S}{bc}}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}$
 
$ \rightarrow \cot A+\cot B+\cot C= \dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}=R.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}$



#552268 Cho a,b $\epsilon R$ thoả mãn (2+a)(1+b)=$\frac...

Gửi bởi JayVuTF trong 07-04-2015 - 21:47

Cho a,b $\epsilon R$ thoả mãn (2+a)(1+b)=$\frac{9}{2}$
Tìm min: P=$\sqrt{16+a^{4}}+4\sqrt{1+b^{^{4}}}$

$ P=\sqrt{16+a^{4}}+4\sqrt{1+b^{4}}\geq\sqrt{(4+4)^2+(a^2+(2b)^2)}$

$(2+a)(1+b)=\frac{9}{2}\leftrightarrow a+2b+ab=\frac{5}{2}$
 
$a^{2}+1\ge 2a$
$4b^{2}+1\geq 4b$
$\frac{1}{2}(4a^{2}+b^{2})\geq 2ab$
$\rightarrow \frac{3}{2}(a^{2}+4b^{2})\geq 2(a+2b+ab)-2=3$
$\rightarrow a^{2}+4b^{2}\geq 2$
Thay vào   $\rightarrow P\geq 2\sqrt{17}$



#552196 $\sum \frac{x^3}{(1+y)(1+z)}\geq...

Gửi bởi JayVuTF trong 07-04-2015 - 20:05

Cho $x,y,z> 0;xyz=1.$

$CM:\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{3}{4}$

$VT =\sum \dfrac{x^4}{1+yz+zx+x} \ge \dfrac{(\sum x^2)^2}{3+2\sum xy+\sum x}$
 
Áp dụng $\sum xy \le \dfrac{(\sum x)^2}{3} \le \sum x^2$
 
$VT \ge \dfrac{(\sum x)^4}{27+6(\sum x)^2+9\sum x} =\dfrac{1}{\dfrac{27}{(\sum x)^4}+\dfrac{6}{(\sum x)^2}+\dfrac{9}{(\sum x)^3}}$
 
$\sum x \ge 3$
 
Thế vào là có ngay điều cần chứng minh               .

 

Nguồn : HM

 

 




#552094 Chứng minh $\cos\frac{\pi}{7}+\c...

Gửi bởi JayVuTF trong 07-04-2015 - 14:45

Uả mà bạn ơi, câu a bân làm là $\sin A+\sin B+\sin C$ mà @@
Ờ đây là nhân, không biết đề trong sách có sai không nhưng thấy ai cũng bảo là cộng hết...

 

Bạn đang làm là sinA+sinB+sinC  chứ ko fai là sinA.sinB.sinC .Mà tớ thấy cộng ms đúng Vito Khang Scaletta nên xem lại đề.

 

Đề phải sửa lại mới đúng