Vito Khang Scaletta

Bài 5:

a. Tính được SH=1/2, $BH=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Từ đó suy ra SH vuông BH suy ra SH vuông (ABC)

b. Gọi M là trung điểm BC, ta có BC vuông (SHM). Hạ HK vuông SM, suy ra HK vuông (SBC)

HK là đường cao của tam giác vuông SHM. Suy ra: $\frac{1}{HK^{2}}=\frac{1}{HM^{2}}+\frac{1}{HS^{2}}\Rightarrow HK=\frac{\sqrt{6}}{6}$

H là trung điểm AC suy ra: $d(A,(SBC))=2.d(H,(SBC))=\frac{2\sqrt{6}}{6}$

Cám ơn bạn Hồi thi mình học ko kĩ khoảng cách, nhìn ko ra, tiếc ghê (

Bài 3:
a. Giả sử xếp 100 bút chì thành 1 hàng ngang, giữa 100 bút chì có 99 khoảng trống, chọn ngẫu nhiên 2 trong 99 khoảng trống, ta sẽ được 3 phần cho mỗi bạn, thỏa mãn đề bài bạn nào cũng có phần. Đáp số: 99C2

Cám ơn bạn nhá, mặc dù đáp án có lời giải khác nhưng lời giải của bạn dễ hiểu hơn hẳn

Đáp án trong đính kèm nhé, bạn xem thử.

Bài 6:

Ký hiệu A, $V_A$, $B_A$,... lần lượt là số học sinh trường A, số HCV trường A, số HCB trường A,...

Ta có: $V_A=V_B$

$\frac{V_A}{A}=\frac{5}{6}\frac{V_B}{B}\Rightarrow B=\frac{5}{6}A$

$\frac{B_A}{B_B}=\frac{9}{2}\Rightarrow B_B=\frac{2}{9}B_A$

Tiếp tục có: $\frac{B_A+B_B}{A+B}=\frac{1}{5}\Rightarrow \frac{B_A+\frac{2}{9}B_A}{A+\frac{5}{6}A}=\frac{1}{5}\Rightarrow \frac{B_A}{A}=\frac{3}{10}$

Mà: $\frac{D_A}{A}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{V_A}{A}=\frac{1}{2}-\frac{3}{10}=\frac{1}{5}$

Đáp số 20%

Mình tiếc là hình như đáp số sai rồi :v Dù sao cũng cám ơn bạn

$\left\{\begin{matrix} xy^{2}+y=6x^{2};(1) & & \\ x^{2}y^{2}+1=5x^{2};(2) & & \end{matrix}\right.$

Nhận xét thấy $(x;y)=(0;0)$ không là nghiệm của phương trinh, ta chia $(1)$ và $(2)$ cho $x^2$.

$(1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{y^2}{x}+\frac{y}{x^{2}}=6 \\ y^2+\frac{1}{x^{2}}=5 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{y}{x}(y+\frac{1}{x})=6 \\ (y+\frac{1}{x})^2-\frac{2y}{x}=5 \end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\frac{y}{x} \\ b=y+\frac{1}{x} \end{matrix}\right.$, hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} ab=6 \\ b^2 - 2a = 5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{b^2-5}{2} \\ b^3-5b-12=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 \\ b=3 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{y}{x}=2 \\ y+\frac{1}{x}=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=2x \\ 2x^2-3x+1=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1\Rightarrow y=2 \\ x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=1 \end{bmatrix}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm $(1;2)$ hoặc $(\frac{1}{2};1)$.

Mình xin phép đổi tên đường thẳng $(d)$ thành $(\Delta)$ nhé, cho dễ hiệu trong việc sự dụng kí hiệu về khoảng cách.

Cho ($\Delta$) x - 2y -13 = 0
và (C) : (x - 3)² + (y - 1)² = 5
Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng là lớn nhất và nhỏ nhất

$(C)$ là đường tròn có tâm $I(3;1)$ và bán kính $R=\sqrt{5}$
Xét vị trí tương quan giữa $(\Delta)$ và $(C)$, ta thấy $d(I;\Delta)=\frac{|3-2.1-13|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{14}{\sqrt{5}}>R$

$\Rightarrow$ $(C)$ và $(\Delta)$ không có điểm chung.

Gọi tọa độ điểm $M(m;n)$

Khi đó, ta nhận thấy rằng $d(M;\Delta)$ đạt cực tiểu hay cực đại khi và chỉ khi $IM\perp \Delta\Leftrightarrow \overrightarrow{IM}\perp \overrightarrow{n}$ với $\overrightarrow{n}=(1;-2)$ là vectơ pháp tuyến của $\Delta$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow 1.(m-3)-2(n-1)=0\Leftrightarrow m=2n+1$ $(1)$

Mà do $M\in (C)\Leftrightarrow (m-3)^2+(n-1)^2=5$ $(2)$

Thay $(1)$ vào $(2)$, ta được $(2n-2)^2+(n-1)^2=5\Leftrightarrow \begin{bmatrix} n=0\Rightarrow m=1 \\ n=2\Rightarrow m=5 \end{bmatrix}$

Từ đó suy ra ta được 2 điểm $M_{1}(1;0)$ và $M_{2}(5;2)$ để $d(M;\Delta)$ đạt lớn nhất hay nhỏ nhất.

Đến đây chỉ cần dùng công thức tính khoảng cách để xác định xem cái nào làm cho $d(M;\Delta)$ lớn nhất, cái nào làm cho nhỏ nhất là được rồi

Cho điểm $M(4;3)$. Lập phương trình của đường thẳng qua $M$ và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng nhau.

Gọi phương trình đường thẳng $\Delta:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ cắt trục $Ox$ tại $A;(a;0) và trục $Oy$ tại $B(0;b) (phương trình đoạn chắn).

Theo giả thiết, ta có $M\in \Delta\Leftrightarrow \frac{4}{a}+\frac{3}{b}=1$ $(1)$

Theo giả thiết, ta cũng có $OA=OB\Leftrightarrow |a|=|b|\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=b \\ a=-b \end{bmatrix}$

$*$ Với $a=b$, thay vào $(1)$, ta có $\frac{4}{b}+\frac{3}{b}=1\Leftrightarrow b=7\Rightarrow a=7\Rightarrow \Delta:x+y=7$

$*$ Với $a=-b$, thay vào $(1)$, ta có $\frac{4}{-b}+\frac{3}{b}=1\Leftrightarrow b=-1\Rightarrow a=1\Rightarrow \Delta:x-y=1$

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mản đề bài là...

2/
a)Ta có $OA>4,OB>1$ nên ta đặt $u,v$ sao cho $OA=v+4;OB+u+1$ và $Ox_1=4;Oy_1=1$ (giả thiết)
$S=_{OAB}=OA.OB.\frac{1}{2}=(v+4)(u+1).\frac{1}{2}$
$\Delta By_1M \sim \Delta Mx_1A=>\frac{u}{4}=\frac{1}{v}<=>u=\frac{4}{v}$
$=>(v+4)(u+1)=(v+4)(\frac{4}{v}+1)<=>\frac{S_{OAB}}{v}=\frac{1}{2}(\frac{4}{v}+1)^2\geqslant \frac{8}{v}$
$=>S_{OAB}\geqslant 8$.Dấu "=" xảy ra khi $v=4;u=1<=>OA=8;OB=2$
$=>y=\frac{1}{4}x$

b)$S=OA+OB=v+u+5=\frac{v^2+5v+4}{v}<=>v^2+(5-S)v+4=0$
$\Delta \geqslant 0<=>S\geqslant 9$ hay $OA+OB\geqslant 9$
Dấu "=" xảy ra khi $v=2;u=2<=>OA=6;OB=3$
$=>y=x-3$
P/S: em mới học cấp 2 nên sai thì thông cảm

Bài này mình không biết đúng sai như thế nào nhưng mà câu a kết quả hơi vô lý nhé.
$y=\frac{1}{4}x$ là đường thẳng đi qua góc tọa độ nên khi đó sẽ không tồn tại $\Delta OAB$ nhé