Vito Khang Scaletta

Giải pt:

$\frac{3(sinx+tanx)}{tanx-sinx}-2cosx=2$ $(1)$

Điều kiện: $\left\{\begin{matrix} cosx\neq 0\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi \\ tanx\neq sinx\Leftrightarrow sinx\neq sinx.cosx\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sinx\neq 0\Leftrightarrow x\neq k\pi \\ cosx\neq 1\Leftrightarrow x\neq k2\pi \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\neq \frac{k\pi}{2};(k\in\mathbb{Z})$

$(1)\Leftrightarrow 3.\frac{\frac{sinx.cosx+sinx}{cosx}}{\frac{sinx-sinx.cosx}{cosx}}=2+2cosx$

$\Leftrightarrow 3.\frac{sinx(cosx+1)}{sinx(1-cosx)}=2(1+cosx)$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} cosx+1=0 \\ \frac{3}{1-cosx}=2 \end{bmatrix}$

Cách khác, dùng nhân liên hợp

giải các phương trình
$\sqrt{2x+1}-3=\sqrt{x-2}+x$ $(1)$

Điều kiện: ...

$(1)\Leftrightarrow \frac{x+3}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-2}}=x+3 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-3;(ktm) \\ \sqrt{2x+1}+\sqrt{x-2}=1 \end{bmatrix}$

Cái dưới thì bình phương 2 vế 2 lần là ra rồi nhá :3

mình hơi kém phần lượng giác

Tại sao bạn biết nhân thêm $sinx$ và có nghiệm $x=\frac{-k\pi}{5}$ loại luôn đc không 

À mà dạng này muốn làm đc phải làm thật nhiều à ??

Bởi vì phương trình ban đầu, bên $VT$ có cái nhân tử $3-4sin^2x$ có cái hệ số 3 vs 4 ý, gần giống như hệ số công thức nhân ba, kiểm tra thì mình để ý là nó đúng là công thức nhân ba nhưng thiếu mất 1 $sinx$ ên mình nhân vào thì đc $sin3x$, tiếp tục nhân phân phối vào thì ta lại đc $sin9x$,. Qúa lý tưởng rồi phải ko ?

Còn cái nghiệm đó... ví dụ như mình cho $k=1$ hay $k=2$ thì thế nghiệm ov6 đâu có phạm vô điều kiện đề bài đâu bạn ? Chỉ nhửng $k$ chia hết cho 5 thế vô mới làm cho sinx=0 (phạm đk đề bài) đc thoy.

P/s: Bạn yên tâm đi, cách đây 2 tháng thì mình cũngn hư bạn tohi6 à, lơ tơ mơ lượng giácl mắ, bây giờ đỡ rồi

giải ptlg sau 

$(3-4sin^2x)(3-4sin^23x)=1-2cos10x$ $(1)$

$*$ Xét khi $sinx=0\Leftrightarrow x=k\pi;(k\in\mathbb{Z})$, thay vào $(1)$, ta thấy không thỏa mãn $\Rightarrow$ Loại.

$*$ Xét khi $sinx\neq 0$, nhân cho cả 2 vế của phương trình $(1)$ nhân tử $sinx$, ta có...

$(1)\Leftrightarrow (3sinx-4sin^3x)(3-4sin^23x)=sinx-2sinx.cos10x$

$\Leftrightarrow sin3x(3-4sin^23x)=sinx-2.\frac{1}{2}(sin11x-sin9x)$

$\Leftrightarrow 3sin3x-4sin^33x=sinx-sin11x+sin9x$

$\Leftrightarrow sin9x=sinx-sin11x+sin9x$

$\Leftrightarrow sinx=sin11x\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=11x+k2\pi \\ x=\pi-11x+k2\pi \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{-k\pi}{5} \\ x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{6} \end{bmatrix}$

Đến đây... nếu kĩ thì ta nên tìm các số $k$ nào mà có thể làm cho $sinx=0$ và loại ra bởi vì ta đang xét $sinx\neq0$ mà , ví dụ như ở nghiệm thử nhất thì $k$ phải là số không chia hết cho 5 chẳng hạn thì mới thỏa mãn...

Mình thấy không nên đặt như bạn ở trên vì ta phải đưa ẩn $t$ vào căn trong khi chưa biết âm hay dương, rất phiền phức

Giải phương trình: $8\sqrt{12+16x-16x^2}+4x-4x^2=33$

Đặt $t=\sqrt{12+16x-16x^{2}}\geq 0\Rightarrow \frac{t^{2}-12}{4}=4x-4x^{2}$, ta được phương trình $8t+\frac{t^{2}-12}{4}=33$

Giải ra $t$, so điều kiện rồi ra $x$ và cuối cùng thay lại để xem thỏa mãn không nhé (hoặc ngay từ đầu đặt điều kiện xác định trước).

$sinx+cosx=\sqrt{2}(2-sin3x)$ $(1)$

$(1)\Leftrightarrow \sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}(2-sin3x)$

$\Leftrightarrow sin(x+\frac{\pi}{4})+sin3x=2$ $(2)$

Do $\left\{\begin{matrix} -1\leq sin(x+\frac{\pi}{4})\leq 1 \\ -1\leq sin3x\leq 1 \end{matrix}\right.$ nên ta có $(2)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin(x+\frac{\pi}{4})=1 \\ sin3x=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{\pi}{4}+k2\pi \\ x=\frac{\pi}{6}+k\frac{2}{3}\pi \end{matrix}\right.(k\in\mathbb{Z})$

Giải hệ trên theo 2 ẩn $x$ và $k$, ta được nghiệm $\left\{\begin{matrix} x=\frac{\pi}{8} \\ k=\frac{-1}{16}\notin \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow$ Loại.

Vậy phương trình trên vô nghiệm.

 

 Cách khác:

                 $x^{2}-10x+9\geq 4+\sqrt{x^{2}-10x-11}$

$<=>x^{2}-10x-11-10\sqrt{x^{2}-10x-11}+25-9\geq 0$

$<=>(\sqrt{x^{2}-10x-11}-5)^{2}-9\geq 0$

$<=>(\sqrt{x^{2}-10x-11}-2)(\sqrt{x^{2}-10x-11}-8)\geq 0$

     Đến đây lập bảng xét dấu.

 

Hmm... mình nghĩ là đúng r nhưng ko lập bảng xét dấu được đâu mà phải xét 2 trường hợp thôi vì đây có căn mà.

Mình nghĩ cách này chưa hẳn đúng bởi có rất nhiều trường hợp khác nhau.

Còn trường hợp nào nữa bạn ? Vì $cos$ và $sin$ chỉ thuộc từ $[-1;1]$ mà ta có thể đảm bảo rằng 2 số bất kì thuộc $(-1;1)$ không thể nào nhân nhau mà ra được $-1$ hết nên chỉ còn có cách là 2 trường hợp đó thôi.

(để ý cách mình dùng duấ ngoặc vuông vs tròn nhá )

mình cũng làm tới khúc đó nhưng thế $x=y$ hay $x^2=2y$ vào phương trình 2 thì không làm tiếp được bạn làm giúp mình với

Thế thì làm ngược lại xem sao bạn, thế $y=x$ và $y=\frac{x^{2}}{2}$ vào PT2

Với kết quả như bạn ở trên thì mình xin đưa ra công thức để giải bất phương trình dạng này

$\sqrt{A}>B\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} B<0 \\ A\geq 0 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} B\geq 0 \\ A>B^{2} \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$

$3\sqrt{5x+4}+3\sqrt{x+4}+4x^{2}-8x-12=0$ $(1)$

Điều kiện: $\frac{-4}{5}\leq x\leq 3$

$(1)\Leftrightarrow 3(\sqrt{5x+4}-2)+3(\sqrt{x+4}-2)=8x-4x^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{15x}{\sqrt{5x+4}+2}+\frac{3x}{\sqrt{x+4}+2}=x(8-4x)$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0 \\ \frac{15}{\sqrt{5x+4}+2}+\frac{3}{\sqrt{x+4}+2}=8-4x \end{bmatrix}$

Bạn nào đánh giá phần sau vô nghiệm đi

Giải phương trình vô tỉ ẩn x:

$\sqrt{x^2-\frac{1}{4}+\sqrt{x^2+x+\frac{1}{4}}}=\frac{1}{2}(2x^3+x^2+2x+1)$ $(1)$

 

Điều kiện: $VP\geq 0\Leftrightarrow x\geq \frac{-1}{2}$ (trong căn $\geq0$ thì dễ dàng chứng minh là với mọi $x$ rồi nhé )

$(1)\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-\frac{1}{4}+|x+\frac{1}{2}|}=\frac{1}{2}(2x^{3}+x^{2}+2x+1)$

(dựa vào điều kiện thì ta có biểu thức tron trị tuyệt đối không âm nên ta có thể khai ra trực tiếp)

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+x+\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}(2x^{3}+x^{2}+2x+1)$

$\Leftrightarrow |x+\frac{1}{2}|=x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+x+\frac{1}{2}$

Tập nghiệm nguyên của bất phương trình $\sqrt{5x-2}\leq 4$ $(1)$

Điều kiện: $5x-2\geq 0\Leftrightarrow x\geq \frac{2}{5}$

$(1)\Leftrightarrow 5x-2\leq 16\Leftrightarrow x\leq \frac{18}{5}$

$\Rightarrow$ Tập nghiệm cảu bất phương trình là $S=[\frac{2}{5};\frac{18}{5}]$

Vậy tập nghiệm nguyên của bất phương trình là $S=\left \{ 1;2;3 \right \}$

Điều kiện $\left\{\begin{matrix} x\neq 0 \\ y\neq 0 \end{matrix}\right.$

$(1)\Leftrightarrow x-y-(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})=0\Leftrightarrow x-y-\frac{y-x}{xy}=0\Leftrightarrow (x-y)(1+\frac{1}{xy})=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y \\ y=\frac{-1}{x};(x\neq 0) \end{bmatrix}$
$*$ Với $x=y$, thay vào $(2)$, ta có: $x^{3}-2x+1=0\Leftrightarrow (x-1)(x^{2}+x-1)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y=1 \\ x=y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\ x=y=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$
$*$ Với $y=\frac{-1}{x}$, thay vào $(2)$, ta có: $x^{3}+\frac{2}{x}+1=0\Leftrightarrow x^{4}+x+2=0$ (vô nghiệm)

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y};(1) & \\x^3-2y+1=0;(2) & \end{matrix}\right.$

Vậy các nghiệm của hệ là $(1;1), (\frac{-1-\sqrt{5}}{2};\frac{-1-\sqrt{5}}{2}), (\frac{-1+\sqrt{5}}{2};\frac{-1+\sqrt{5}}{2})$ 

P/s: Cái chỗ phương trình bậc 4 có ai chứng minh nó vô nghiệm giúp mình được không vậy... @@

Giải phương trình:

$3\sqrt{5x+4}+3\sqrt{x+4}+4x^{2}-8x-12=0$ $(1)$

Điều kiện: $x\geq \frac{-4}{5}$

$(1)\Leftrightarrow 3(\sqrt{5x+4}-2)+3(\sqrt{x+4}-2)=8x-4x^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{15x}{\sqrt{5x+4}+2}+\frac{3x}{\sqrt{x+4}+2}=4x(2-x)$

$\Leftrightarrow x(\frac{15}{\sqrt{5x+4}+2}+\frac{3}{\sqrt{x+4}+2}+4x-8)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0 \\ \frac{15}{\sqrt{5x+4}+2}+\frac{3}{\sqrt{x+4}+2}=8-4x \end{bmatrix}$