Vito Khang Scaletta

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1 & & \\ x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m & & \end{matrix}\right.$ (1)

(1) $\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=1 \\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})^{3}-3\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=1-3m \end{matrix}\right.$ (pt dưới nhận thấy $x\sqrt{x}=(\sqrt{x})^{3}$ và $y\sqrt{y}=(\sqrt{y})^{3}$)

Đặt $\left\{\begin{matrix} S=\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq 0 \\ P=\sqrt{xy}\geq 0 \end{matrix}\right.$ với $S^{2}\geq 4P$, hệ phương trình trên trở thành: $\left\{\begin{matrix} S=1 \\ S^{3}-3PS=1-3m \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} S=1 \\ P=m \end{matrix}\right.$

Đến đây, theo điều kiện $S^{2}\geq 4P$ khi đặt $S$ và $P$, hệ phương trình có nghiệm khi $m\leq \frac{1}{4}$

Tiếp tục giải: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=1 \\ \sqrt{xy}=m \end{matrix}\right.$ với $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là nghiệm của phương trình $X^{2}-X+m=0$ (theo định lý Viét đảo).

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2} \\ \sqrt{y}=\frac{1-\sqrt{1-4m}}{2} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=\frac{1-\sqrt{1-4m}}{2} \\ \sqrt{y}=\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2} \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$ (giải bằng công thức nghiệm, tham số m).

Đến đây thì ta lại có phương trình có nghiệm khi $\left\{\begin{matrix} \frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}\geq 0;\forall m\in R \\ \frac{1-\sqrt{1-4m}}{2}\geq 0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow m\geq 0$

 

Vậy điều kiện để phương trình có nghiệm là $m\geq \frac{1}{4}$

GPT $\sqrt[4]{17-x^{8}}-\sqrt[3]{2x^{8}-1}=1$ (1)

Điều kiện: $-\sqrt[8]{17}\leq x\leq\sqrt[8]{17}$
Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt[4]{17-x^{8}}\geq 0 \\ b=\sqrt[3]{2x^{8}-1} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 2a^{4}+b^{3}=33$ (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} a-b=1 \\ 2a^{4}+b^{3}=33 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=a-1 \\ 2a^{4}+a^{3}-3a^{2}+3a-34=0 \end{matrix}\right.$
Nhận thấy phương trình bậc 4 (dưới) có 1 nghiệm $x=2$ nên ta dùng sơ đồ Hooc-ne để hạ bậc, tham khảo video https://www.youtube....h?v=qUxnV4OIKDM để biết về phương pháp này.

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a-2)(2a^{3}+5a^{2}+7a+17)=0 \\ b=a-1 \end{matrix}\right.$

Đến đây, ta dùng máy tính (hoặc làm cách nào đó) bấm nghiệm phương trình bậc 3 phía sau và nhận được 1 nghiệm $a\approx -2,474< 0$ nên ta loại (vì điều kiện ban đầu ta đặt $a\geq 0$)
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 \\ b=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt[4]{17-x^{8}}=2 \\ \sqrt[3]{2x^{8}-1}=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1-x^{8}=0 \\ 2x^{8}-2=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\pm 1$ (thỏa mãn điều kiện)

 

Vậy tập nghiệm của pt là $S=\left \{ -1;1 \right \}$.

Dùng Cardano giải pt bậc 3 ẩn b.

Đây là box THCS mà bạn :v Cardano là chương trình THPT rồi... Mà với lại mình cũng chỉ biết Cardano chứ không biết công thức nghiệm của nó như thế nào, bạn chỉ mình được không
Sẵn tiện ai đó check lại xem bài mình làm đúng không nhé @@

$\left\{\begin{matrix} x^2y^2-xy^2+y+1=4y^2& \\ x^2y-y^2=3xy+x& \end{matrix}\right.$

Trong bài giải có sử dụng 1 hằng đẳng thức phân tích tổng 2 bình phương thành hiệu và tích $a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab$. Hằng đẳng thức này có thể dễ dàng chứng minh bằng hằng đẳng thức bình phương 1 hiệu !!

 

Nhận thấy $y=0$ không phải là nghiệm của $(HPT)$, xét trường hợp $y\neq 0$, ta có:

$(HPT)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+\frac{1}{y^{2}}-(x-\frac{1}{y})=4 \\ \frac{x^{2}}{y}-\frac{x}{y^{2}}=\frac{3x}{y}+1 \end{matrix}\right.$ (chia cả 2 pt của hệ cho $y^{2}$)

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-\frac{1}{y})^{2}+\frac{2x}{y}-(x-\frac{1}{y})=4 \\ \frac{x}{y}(x-\frac{1}{y})=\frac{3x}{y}+1 \end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=x-\frac{1}{y} \\ b=\frac{x}{y} \end{matrix}\right.$, $(HPT)$ trở thành: $\left\{\begin{matrix}a^{2}+2b-a=4\\ ab=3b+1\end{matrix}\right.$

Nhận thấy $b=0$ không phải là nghiệm của hệ này nên ta chỉ xét khi $b\neq 0$

$\left\{\begin{matrix} 2b^{3}+2b^{2}+5b+1=0 \\ a=\frac{3b+1}{b} \end{matrix}\right.$

 

Giải đến đây mình bị kẹt ở cái phương trình bậc 3 này, bạn nào giải giúp mình đc ko....

Mình xin phép chỉnh sửa, bổ sung cho lời giải mình ngắn gọn hơn tí 

Thay vì đặt trước 2 ẩn a và b như lời giải trên, ngay từ đầu, ta có thể đặt $t=\frac{\sqrt{x+24}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+24}-\sqrt{x}}$ $\Rightarrow \frac{1}{t^{2}}=\frac{12+x-\sqrt{x^{2}+24x}}{12+x+\sqrt{x^{2}+24x}}$

Và từ đây, ta có được bất phương trình $t<\frac{27}{8t^{2}}\Leftrightarrow t(1-\frac{27}{8t^{3}})<0$

Đến đây giải giống như trên bạn nhé

Cho $A(1;2)$, $B(-1;2)$, $d:x-2y+1=0$. Tìm C thuộc d thỏa mãn:

a, $CA=CB$

b, $AB=AC$

a) Ta có $\left\{\begin{matrix} C(x_{C};y_{C})\in d:x-2y+1=0 \\ CA=CB \end{matrix}\right.$ 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{C}-2y_{C}+1=0 \\ \sqrt{(x_{A}-x_{C})^{2}+(y_{A}-y_{C})^{2}}=\sqrt{(x_{B}-x_{C})^{2}+(y_{B}-y_{C})^{2}} \end{matrix}\right.$ 

$\left\{\begin{matrix} x_{C}-2y_{C}+1=0 \\ (1-x_{C})^{2}+(2-y_{C})^{2}=(-1-x_{C})^{2}+(2-y_{C})^{2} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{C}-2y_{C}+1=0 \\ 1-2x_{C}+x_{C}^{2}=1+2x_{C}+x_{C}^{2} \end{matrix}\right.$ 

$\left\{\begin{matrix} x_{C}=0 \\ y_{C}=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Vậy tọa độ điểm cần tìm là $C(0;\frac{1}{2})$.

 

Câu b tương tự nha bạn :v

$BPT\Leftrightarrow x-\sqrt x\leq 1-\sqrt{2(x^2-x+1)}$

$\Leftrightarrow \sqrt{2(x^2-x+1)}\leq 1+\sqrt x-x$

$\rightarrow 2(t^4-t^2+1)\leq 1+t^2+t^4+2t-2t^2-2t^3$

$\rightarrow t^4+2t^3-t^2-2t+1\leq 0$

$\rightarrow t^2+\frac{1}{t^2}+2(t-\frac{1}{t})-1\leq 0$

$\rightarrow m^2+2+2m-1\leq 0$

$\rightarrow (m+1)^2\leq 0$

$\rightarrow m=-1$

$\rightarrow t=\frac{1+\sqrt5}{2}$

$\rightarrow x=\frac{3+\sqrt5}{2}$

Cám ơn bạn, theo bài thì mình thấy có lẻ là bạn đặt $t=\sqrt{x}$ nhưng bạn có thể giải thích rõ cho mình cách biến đổi 2 dòng màu đỏ được không vậy ?

Và sau đó có xuất hiện thêm ẩn m, có phải là $m=t+\frac{1}{t}$ không vậy ?

Hệ phương trình tương đương

 

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2} & & \\ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{5}{6} & & \\ \frac{1}{z}+\frac{1}{x}=\frac{4}{3} & & \end{matrix}\right.$

 

Đến đây giải như bình thường 

Mình có 1 chút góp ý nhỏ cho bài này.

 

Vì khi tương đương như vậy nghĩa là ta chia 2 vế của từng phương trình lần lượt cho $xy,yz$ và $ zx$ nên vì thế, ta phả có thêm 1 bước xét trường hợp $x=0;y=0;z=0$ như sau:

 

* Xét trường hợp $x=0;y=0;z=0$, thay vào hệ, ta thấy bộ nghiệm này thỏa hệ phương trình.

$\Rightarrow$ Nhận $x=0;y=0;z=0$ là 1 nghiệm của hệ.

* Xét trường hợp $x\neq 0;y\neq 0;z\neq 0$, (HỆ) $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2} & & \\ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{5}{6} & & \\ \frac{1}{z}+\frac{1}{x}=\frac{4}{3} & & \end{matrix}\right.$

Cái đó mình hiểu rồi. Nhưng tại sao rút được ra cái pt x=1+3t , y=1-4t

Chữ "t" ở đây khác với chữ "t" trong tọa độ điểm C nhé bạn
2 phương trình đó gộp thành 1 hệ gọi là phương trình tham số của đoạn BC, bạn có thể đọc kĩ SGK để hiểu rõ về các viết phương trình đường thẳng...
Nghĩa là nếu chữ "t" tron tọa độ điểm C thay bằng 1 kí tự khác thì chữ "t" trong phương trình vẫn không đổi

Bài bạn hỏi cách làm cũng giống bài trên thôi
ĐK $x\geq 0$
Ta có: $BPT\Leftrightarrow \frac{2-4x}{\sqrt{x+2}+\sqrt{5x}}>4x-2$
Xét $0\leq x<\frac{1}{2}\rightarrow TRUE$ do $VT>0>VP$
Xét $x=\frac{1}{2}\rightarrow VT=VP=0\rightarrow FALSE$
Xét $x>\frac{1}{2}\rightarrow VT<0<VP\rightarrow FALSE$
Vậy tập nghiệm của bpt là $x\in [0;\frac{1}{2})$

Cám ơn bạn nhưng mình có 1 góp ý ở phía cuối, thay vì xét 3 trường hợp như bài trước, ta có thể làm như sau...

BPT $\Leftrightarrow$ $\frac{2-4x}{\sqrt{x+2}+\sqrt{5x}}>4x-2$ 

$\Leftrightarrow 2-4x>-(2-4x)(\sqrt{x+2}+\sqrt{5x})$

$\Leftrightarrow (2-4x)(\sqrt{x+2}+\sqrt{5x}+1)>0$

mà vì $\sqrt{x+2}+\sqrt{5x}+1>0;\forall x\geq 0$

$\Rightarrow 2-4x>0 \Leftrightarrow x<\tfrac{1}{2}$

So điều kiện, ta được tập nghiệm của BPT là $S=[0;\frac{1}{2})$

Mọi người giải giúp mình bất phương trình này nhé $\sqrt{x+2}-\sqrt{5x}>4x-2$

 

P/s: Mình có 1 bài bất phương trình khác, đã giải như trong hình dưới, mọi người xem thử cách mình giải có đúng không nhé
Theo như trên Wolfram Alpha thì mình ra nghiệm giống trên đó http://www.wolframal...x-3)+sqrt(5x-4)

Chào bạn, mình xin phép giải bài của bạn nhé Mình không quen dùng Latex nên đành viết như thế này thôi... Có những chỗ nào mình làm tắt mà bạn không hiểu thì hỏi mình nhé

 

Cho $(1-m)x^2+2mx+m-6\geq 0$ . Tìm m để
a. Bất phương trình có nghiệm
b. Bất phương trình có nghiệm duy nhất.
c. Bất phương trình vô nghiệm
d. Bất phương trình có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1
 
P/s : nếu được, có thể giải chi tiết giùm mình vì mình vẫn đang rối với mấy bài kiểu này

Câu a: Bất phương trình có nghiệm với mọi x thực thì bất phương trình đối chiều của nó sẽ vô nghiệm... Làm theo công thức thôi, công thức này thì chắc bạn hiểu mà

Câu b: Bất phương trình có nghiệm duy nhất => Bất phương trình đối dấu nhưng có thêm trường hợp "=" sẽ có nghiệm với mọi x thực. Nghiệm duy nhất của bất phương trình chỉ xảy ra khi trường hợp "=" xảy ra, nghĩa là phương trình đối dấu có duy nhất 1 nghiệm.

Câu c thì giống câu a rồi, đảo chiều bất pt lại rồi làm thôi.
Câu d thì đây là cách làm của mình, độ dài của đoạn nghiệm thì sẽ bằng nghiệm lớn trừ đi nghiệm bé.

Tới đây thì giải cái phương trình cuối cùng là ra rồi

Đây là bài giải của mình, nếu có gì sai sót bạn báo mình nhá ^^!
P/s: Do mình ko rành Latex nên đành dùng Word gõ ra vậy, bạn thông cảm.

 

Giải bất phương trình sau:

$\frac{9}{|x-5| -3}\ge |x-2|$

Bài giải của mình.... nếu có gì sai sót cho mình xin lỗi ^^!

P/s: Mình không quen dùng Latex nên đành làm trên Word 2010 rồi up hình lên vậy.