Khong Hoang Thao

Cho $ a_{1} $, $ a_{2} $, ..., ; $ b_{1} $, $ b_{2} $,...,$ b_{n} $ là các số thực. Gọi $ x_{ij} $ là số các chữ số k sao cho $ b_{k} $ max($ a_{i} $,$ a_{j} $). Giả sử rằng $ x_{ij} $ > 0 mọi i,j chạy từ 1 đến n. Chứng minh rằng tồn tại 1 phép thế chẵn f, 1 phép thế lẻ g sao cho $ \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{ x_{if(i)} }{ x_{ig(i)} } $ n

Trên mặt phẳng, cho một số điểm màu đỏ và một số điểm màu xanh. Người ta nối các điểm khác màu với nhau sao cho hai điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:
1) Mỗi điểm màu đỏ được nối với ít nhất một điểm màu xanh.
2) Mỗi điểm màu xanh được nối với 1 hoặc 2 điểm màu đỏ.
Chứng minh rằng có thể xóa đi không quá một nửa số điểm (trong số các điểm đã cho) sao cho với các điểm còn lại, mỗi điểm màu xanh được nối với đúng một điểm màu đỏ.

Cho hàm số f:N -> N thỏa mãn f(m + n + mn) = f(m) + f(n) + f(m).f(n) m,n N. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của f(2006)

Tìm tất cả các hàm số f(x) thỏa mãn
f(x) = max{x 2003.y + x.y 2003 - f(y)}