Hoang Long Le

Cho $\alpha,\beta\in \mathbb{N}^n$ là các đa chỉ số. Chứng minh rằng

\[\dfrac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n} e^{-i\langle \nu,\eta\rangle}\nu^{\alpha}\eta^{\beta}d\nu d\eta=\delta_{\alpha=\beta}\left(\frac{1}{i}\right)^{|\alpha|}\alpha!.\]

Cho $x(t)$ và $y(t)$ là các hàm khả vi trên $[0,2\pi]$ thoả mãn

\[\int_0^{2\pi}\frac{x(t)}{\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}}dt=\int_0^{2\pi}\frac{y(t)}{\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}}dt=0.\]

Chứng minh rằng 

\[\int_{0}^{2\pi}\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)dt\geq \int_{0}^{2\pi}\left(x(t)^2+y(t)^2\right)dt.\]

Có thể thử chứng minh 2 bài toán đơn giản hơn là

1. Chứng minh rằng nếu $\int_0^{2\pi}x(t)dt=0$ thì $\int_0^{2\pi}x'(t)^2dt\geq \int_0^{2\pi}x(t)^2dt$, cụ thể hơn ta có 

1'. Chứng minh rằng $\int_0^{2\pi}x'(t)^2dt+\dfrac{1}{2\pi}\left(\int_0^{2\pi}x(t)dt\right)^2\geq \int_0^{2\pi}x(t)^2dt.$

2. Chứng minh rằng nếu $m(\{x(t)<0,t\in[0,2\pi]\})=m(\{x(t)>0,t\in[0,2\pi]\})$ với $m$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbb{R}$ thì $\int_0^{2\pi}x'(t)^2dt\geq \int_0^{2\pi}x(t)^2dt.$

Cho $f:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb{R}$ là hàm liên tục thoả mãn $\int_{c}^{d} f(x,y)\varphi(y)dy\in C^1[a,b]$ với mọi $\varphi\in C_c^1[c,d]$. Chứng minh rằng $f(\cdot,y)\in C^1[a,b]$ với mọi $y\in [c,d]$.