Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


nhungvienkimcuong

Đăng ký: 23-12-2014
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 17:47
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: $x^2+y^2+z^2=p.t$

08-01-2017 - 07:09

Bài toán 1: Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh tồn tại các số $x,y,z,t$ thỏa mãn :

$x^2+y^2+z^2=p.t$ (Với $0<t<p$)

 

 

ta chỉ cần xét $x,y,z$ theo $\left ( \mod\ p \right )$ và khi thay $x$ bởi $p-x$ nên ta chỉ cần xét với $x,y,z< \frac{p}{2}$

Đặt $\mathcal{S}$ là tập bình phương các số dư thì khi đó $\left | \mathcal{S} \right |=\frac{p+1}{2}$

theo định lý $\text{Cauchy-Dacenport}$ ta có

$\left | \mathcal{S}+\mathcal{S}+\mathcal{S} \right |\geq \min\left \{ p,3\left | \mathcal{S} \right |-2 \right \}=\min\left \{ p,3.\frac{p+1}{2}-2 \right \}=p$

do đó 

$\exists t_p:x^2+y^2+z^2=pt_p$

$\Rightarrow t_p=\frac{x^2+y^2+z^2}{p}<\frac{3.\left ( \frac{p}{2} \right )^2}{p}$

do đó ta chỉ cần chọn $t=t_p$

 

Bài toán 2: Cho các số nguyên $a,b,c$ lớn hơn 1. Chứng minh rằng nếu với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại $k$ sao cho $a^k+b^k=2c^n$ thì $a=b$

File gửi kèm  analysis against number theory.pdf   183.25K   23 Số lần tải

em xem ở $\text{Example}\ 3$ nhé

 

Bài toán 3: Cho a,b,c là các số nguyên và $a \neq 0$ sao cho $an^2+bn+c$ là số chính phương với mọi $n>2013^{2014}$.

Chứng minh rằng tồn tại $x,y$ nguyên sao cho : $a=x^2,b=2xy,c=y^2$

đây là bài toán khá nổi tiếng

em có thể tham khảo $\text{Example}\ 2$ cùng file trên và cũng một lời giải khác ở đây,ý nghĩa bài toán nó đơn thuần chỉ cần vô hạn và phủ nên 2 lời giải trên đều có thể dùng được


Trong chủ đề: $f(f(x)+2y)=10x+f(f(y)-3x)$

19-12-2016 - 05:28

Tìm f : R->R thỏa mãn
$f(f(x)+2y)=10x+f(f(y)-3x)$

kí hiệu $\mathcal{P}(x,y):\ f\left ( f(x)+2y \right )=10x+f\left ( f(y)-3x \right )$

$\mathcal{P}\left ( x,\frac{-f(x)}{2} \right )\rightarrow f(0)=2x+f\left ( f\left ( \frac{-f(x)}{2} \right )-3x \right )$ do đó $f$ toàn ánh

nếu $\exists a\neq b:f(a)=f(b)$

$\mathcal{P}(x,a)-\mathcal{P}(x,b)\Rightarrow f\left ( f(x)+2a \right )=f\left ( f(x)+2b \right )$

kết hợp với $f$ toàn ánh do đó $\exists L\neq 0:f(x+L)=f(x)$

$\mathcal{P}\left ( x+L,y \right )\Rightarrow f\left ( f(x+L)+2y \right )=10(x+L)+f\left ( f(y)-3(x+L) \right )$

$\Rightarrow f\left ( f(x)+2y \right )=10(x+L)+f\left ( f(y)-3x \right )\Rightarrow L=0$

điều trên mâu thuẫn nên $f$ đơn ánh

tới đây cho $\mathcal{P}(0,x)$ ta dễ kiếm được nghiệm hàm


Trong chủ đề: $n\in \mathbb{N}, n\geq 2$. Chứng minh...

13-09-2016 - 21:53

$n\in \mathbb{N}, n\geq 2$. Chứng minh rằng trong mọi họ gồm ít nhất $2^{n-1}+1$ tập con không rỗng của tập ${1,2,3,...,n}$ đều tìm được $3$ tập hợp mà $1$ trong chúng là hợp của $2$ tập kia.

lời giải sau đây là ý tưởng dẫn đến $2^{n-1}+1$


Trong chủ đề: Đề thi chọn đội tuyển Nguyễn Du (Đăk Lăk)-Vòng 1

14-08-2016 - 18:21

Bài 5: Số cách chọn thoả mãn đề bài tương ứng với việc tô các số từ $1$ đến $100$ bằng $3$ màu trắng, xanh, đỏ. Trong đó: Ta chọn các lá bài cùng màu với số được tô và lá bài có số tô màu trắng không được chọn. Ta sẽ lập biểu thức truy hồi cho $R_x$,$B_x$,$W_x$ lần lượt là số cách tô màu sao cho $2$ số liên tiếp trong $x$ số đầu tiên không cùng màu xanh hoặc đỏ và số $x$ tô màu đỏ, xanh, trắng. Dễ có:

-$R_{x+1}=B_{x}+W_{x}$

-$B_{x+1}=R_{x}+W_{x}$

-$W_{x+1}=R_{x}+B_{x}+W_{x}$

Trong đó $W_1=R_1=B_1=1$, dễ thấy

-$B_{x+1}+R_{x+1}=W_{x+1}+W_{x}$

-$W_{x+2}=2W_{x+1}+W_{x}$

Số cách bốc bài là $R_{100}+B_{100}+W_{100}=2W_{100}+W_{99}=2\times(2\times 100-1)+2\times99-1=595$

anh tạo bảng và đếm truy hồi ,kết quả của anh là $(1+\sqrt{2})^{100}+(1-\sqrt{2})^{100}$ @


Trong chủ đề: Đề thi chọn đội tuyển Nguyễn Du (Đăk Lăk)-Vòng 1

13-08-2016 - 21:09

2)Ta có :$(x^5+10x^3+22x-4)^3+3x^5+22x^3+64x=2\sqrt[3]{-x^5-2x^3-20x+4}+12$

 

$\Leftrightarrow \left ( x^5+10x^3+22x-4 \right )^3+2\left ( x^5+10x^3+22x-4 \right )=\left ( -x^5-2x^3-20x+4 \right )+2\sqrt[3]{-x^5-2x^3-20x+4}$

 

Xét hàm số : $f(t)=t^3+2t\Rightarrow f'(t)=3t^2+2>0\Rightarrow \textrm{Hàm số f(t) đồng biến trên R}$

 

$\Rightarrow x^5+10x^3+22x-4=\sqrt[3]{-x^5-2x^3-20x+4}$

 

$\Leftrightarrow \left ( x^5+2x+20x-4 \right )+\sqrt[3]{x^5+2x^3+20x-4}=(-2x)^3+(-2x)$

 

Xét hàm số $f(t)=t^3+t\Rightarrow f'(t)=3t^2+1>0\Rightarrow \textrm{Hàm số f(t) đồng biến trên R}$

 

$\Rightarrow x^5+2x+22x-4=0$

 

P/s:Ai cho ý kiến về PT cuối không?

câu này hại não nhất ;)

mà phương trình cuối phải là:$x^5+10x^3+20x=4$

ý tưởng là đặt $x=\sqrt{2}\left ( a-\frac{1}{a} \right )$

có mấy đứa lớp anh là sử dụng câu $1.1$ mà anh cũng chả biết phải áp dụng sao nữa :P