Đến nội dung


Thông báo

Thời gian vừa qua do diễn đàn gặp một số vấn đề về kĩ thuật nên thỉnh thoảng không truy cập được, mong các bạn thông cảm. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết triệt để. Nếu các bạn gặp lỗi trong lúc sử dụng diễn đàn, xin vui lòng thông báo cho Ban Quản Trị.


nhungvienkimcuong

Đăng ký: 23-12-2014
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Chứng minh rằng Hiền có thể sắp xếp lại 13 bộ của mình

23-08-2017 - 16:30

Cho một bộ bài gồm 52 quân bài bình thường, gồm các quân Át, 2, 3,..., J, Q, K và 4 chất Bích, Nhép, Rô, Cơ. Bạn Hiền chia bộ bài thành 13 bộ 4 con một cách ngẫu nhiên. Chứng minh rằng Hiền có thể sắp xếp lại 13 bộ của mình sao cho bộ thứ nhất chứa con Át, bộ thứ 2 chứa con 2, bộ thứ 3 chưa con 3,...v...v..., bộ cuối cùng chứa con K.

cứ $\text{Hall}$ mà lần thôi anh nhỉ =))

ta quy định $\text{Át,J,Q,K}$ lần lượt là các số $1,11,12,13$ nên ta có tổng cộng $13$ số khác nhau và mỗi số xuất hiện $4$ lần trong tổng cộng $52$ số

ta gọi $13$ bộ lần lượt là $\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2,...,\mathcal{A}_{13}$ với $\left | \mathcal{A}_i \right |=4,i=\overline{1,13}$

theo đề bài ta chỉ cần chứng minh $\exists a_1,a_2,..,a_{13}$ tương ứng thuộc $\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2,...,\mathcal{A}_{13}$ sao cho $a_i\neq a_j,i\neq j$

theo định lý $\text{Hall}$ thì ta chỉ cần chứng minh

$\left | \mathcal{A}_{i_1}\cup \mathcal{A}_{i_2}\cup ...\cup \mathcal{A}_{i_k} \right |\ge k,\ \ \forall k\le 13$

với tập $\mathcal{A}=\mathcal{A}_{i_1}\cup \mathcal{A}_{i_2}\cup ...\cup \mathcal{A}_{i_k}$ có tổng cộng $4k$ số (ở đây chưa trừ đi các số bị lặp)

mà mỗi số xuất hiện nhiều nhất trong $4$ tập nên

$\left | \mathcal{A} \right |\ge \frac{4k}{4}=k$

do đó ta có $\text{Q.E.D}$


Trong chủ đề: Chứng minh rằng Hiền có thể sắp xếp lại 13 bộ của mình

23-08-2017 - 15:45

Cho một bộ bài gồm 52 quân bài bình thường, gồm các quân Át, 2, 3,..., J, Q, K và 4 chất Bích, Nhép, Rô, Cơ. Bạn Hiền chia bộ bài thành 13 bộ 4 con một cách ngẫu nhiên. Chứng minh rằng Hiền có thể sắp xếp lại 13 bộ của mình sao cho bộ thứ nhất chứa con Át, bộ thứ 2 chứa con 2, bộ thứ 3 chưa con 3,...v...v..., bộ cuối cùng chứa con K.

ý bài toán cách sắp xếp ở đây là như thế nào vậy anh  :mellow:


Trong chủ đề: $\prod_{i=1}^{n}(a_i+1) \ge \dfra...

23-08-2017 - 10:05

Bài toán :
Cho $a_i\ge 1; i=1,2,...,n$
Chứng minh rằng :
$$\prod_{i=1}^{n} \left (a_i+1\right ) \ge \dfrac{2^n}{n+1}\left [\left (\sum_{i=1}^{n} a_i\right ) +1\right ]$$

cứ thấy $n$ mà quy nạp thôi nào  :icon6:

ta gọi $\mathcal{P}(n)$ là mệnh đề với bất kì $n$ số $a_i\ge 1; i=1,2,...,n$ thì

$\prod_{i=1}^{n} \left (a_i+1\right ) \ge \dfrac{2^n}{n+1}\left ( \sum_{i=1}^{n}a_i+1 \right )$

$\bullet$ dễ dàng chứng minh $\mathcal{P}(1)$ đúng

$\bullet$ với $n\ge 2:$ giả sử $\mathcal{P}(k)$ đúng $\forall k\le n$

$\bullet$ ta chứng minh $\mathcal{P}(n+1)$ đúng

thật vậy với $n+1$ số $a_i\ge 1,i=\overline{1,n+1}$ ta hoàn toàn có thể giả sử $a_{n+1}=\max\left \{ a_i\mid i=\overline{1,n+1} \right \}$

ta cần chứng minh

$\prod_{i=1}^{n+1} \left (a_i+1\right ) \ge \dfrac{2^{n+1}}{n+2}\left ( \sum_{i=1}^{n+1}a_i+1 \right )$

mà với $n$ số $a_i,i=\overline{1,n}$ thì theo $\mathcal{P}(n)$ ta có

$\prod_{i=1}^{n} \left (a_i+1\right ) \ge \dfrac{2^n}{n+1}\left ( \sum_{i=1}^{n}a_i+1 \right )$

do đó ta chỉ cần chứng minh

$\frac{2^n}{n+1}\left ( \sum_{i=1}^{n}a_i+1 \right )\left ( a_{n+1}+1 \right )\ge \frac{2^{n+1}}{n+2}\left ( \sum_{i=1}^{n+1}a_i+1 \right )$

$\Leftrightarrow \left ( 1-\frac{2(n+1)}{(n+2)\left ( \sum_{i=1}^{n}a_i+1 \right )} \right )a_{n+1}\ge \frac{n}{n+2}$

mà ta lại có $a_{n+1}=\max\left \{ a_i\mid i=\overline{1,n+1} \right \}$ nên

$\Rightarrow a_{n+1}\ge \frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}=\frac{\mathcal{A}}{n}$

do đó ta chỉ cần chứng minh

$\left ( 1-\frac{2n+2}{(n+2)\left ( \mathcal{A}+1 \right )} \right ).\frac{\mathcal{A}}{n}\ge \frac{n}{n+2}$

$\Leftrightarrow (n+2)\mathcal{A}^2-(n^2+n)\mathcal{A}-n^2\ge 0$

điều trên luôn đúng bởi vì để ý $\mathcal{A}\ge n$ thì ta được

$(n+2)\mathcal{A}^2-(n^2+n)\mathcal{A}-n^2\ge (n+2)n.\mathcal{A}-(n^2+n)\mathcal{A}-n^2=n\mathcal{A}-n^2\ge 0$

do đó $\mathcal{P}(n+1)$ được chứng minh nên theo quy nạp ta có $\text{Q.E.D}$


Trong chủ đề: $n^p-p$ không chia hết cho q

14-08-2017 - 20:30

Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố q sao cho với mọi n nguyên dương, 

   $n^p-p$ không chia hết cho q

 

Bài toán mạnh hơn. Chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên tố $q$ thỏa mãn.

chứng minh tồn tại vô hạn ý tưởng thì cũng giống chứng minh tồn tại thôi =))

giả sử tồn tại hữu hạn số nguyên tố thỏa đề là $q_1,q_2,...,q_t$

ta đặt $a=pq_1^pq_2^p...q_t^p$

tương tự như trên ta dễ dàng chứng minh được $q_{t+1}\notin \left \{ q_1,q_2,...,q_t \right \}:\left\{\begin{matrix} q_{t+1}\mid \frac{a^p-1}{a-1}\\q_{t+1}\not\equiv 1\left ( \mod\ p^2 \right ) \end{matrix}\right.$

ta sẽ chứng minh số $q_{t+1}$ này cũng thỏa đề thật vậy

giả sử tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho

$q_{t+1}\mid n^p-p\Rightarrow n^p\equiv p\left ( \mod\ q_{t+1} \right )$

$\Rightarrow \left ( nq_1q_2...q_t \right )^p\equiv pq_1^pq_2^p...q_t^p\equiv a\left ( \mod\ q_{t+1} \right )$

$\Rightarrow \left ( nq_1q_2...q_t \right )^{p^2}\equiv a^p\equiv 1\left ( \mod\ q_{t+1} \right )$

$\Rightarrow ord_{q_{t+1}}\left ( nq_1q_2...q_t \right )\mid p^2\rightarrow ord_{q_{t+1}}\left ( nq_1q_2...q_t \right )\in \left \{ 1,p,p^2 \right \}$

mặt khác ta lại có

$ord_{q_{t+1}}\left ( nq_1q_2...q_t \right )\mid q_{t+1}-1$

với cách chọn $q_{t+1}$ ta suy ra được

$ord_{q_{t+1}}\left ( nq_1q_2...q_t \right )\notin p^2\rightarrow ord_{q_{t+1}}\left ( nq_1q_2...q_t \right )\in \left \{ 1,p \right \}$

$\Rightarrow \left ( nq_1q_2...q_t \right )^p\equiv 1\left ( \mod\ q_{t+1} \right )$

$\Rightarrow p\left ( nq_1q_2...q_t \right )^p\equiv p\left ( \mod\ q_{t+1} \right )$

$\Rightarrow n^p.a\equiv p\left ( \mod q_{t+1} \right )$

mà theo sự tồn tại của $n$ thì $n^p\equiv p\left ( \mod\ q_{t+1} \right )$

$\Rightarrow pa\equiv p\left ( \mod\ q_{t+1} \right )$

ta dễ thấy rằng $p\neq q_{t+1}\Rightarrow a\equiv 1\left ( \mod\ q_{t+1} \right )$

từ đây ta có được

$p\equiv \frac{a^p-1}{a-1}\equiv 0\left ( \mod\ q_{t+1} \right )$

tới đây có mâu thuẫn do đó ta có $\text{Q.E.D}$


Trong chủ đề: Chứng minh rằng $\forall k> 0, \exists x\in...

12-08-2017 - 07:45

Anh ơi , thế  thì thà dùng Zsigmondy còn dễ cm hơn :P

dùng sao em nhỉ? anh có nghĩ tới rồi nhưng do còn lòi cái thằng $d$ ở ngoài cứ vướng vướng ấy