Đến nội dung


nhungvienkimcuong

Đăng ký: 23-12-2014
Offline Đăng nhập: 18-05-2017 - 14:25
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: $x^2+y^2+z^2=p.t$

08-01-2017 - 07:09

Bài toán 1: Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh tồn tại các số $x,y,z,t$ thỏa mãn :

$x^2+y^2+z^2=p.t$ (Với $0<t<p$)

 

 

ta chỉ cần xét $x,y,z$ theo $\left ( \mod\ p \right )$ và khi thay $x$ bởi $p-x$ nên ta chỉ cần xét với $x,y,z< \frac{p}{2}$

Đặt $\mathcal{S}$ là tập bình phương các số dư thì khi đó $\left | \mathcal{S} \right |=\frac{p+1}{2}$

theo định lý $\text{Cauchy-Dacenport}$ ta có

$\left | \mathcal{S}+\mathcal{S}+\mathcal{S} \right |\geq \min\left \{ p,3\left | \mathcal{S} \right |-2 \right \}=\min\left \{ p,3.\frac{p+1}{2}-2 \right \}=p$

do đó 

$\exists t_p:x^2+y^2+z^2=pt_p$

$\Rightarrow t_p=\frac{x^2+y^2+z^2}{p}<\frac{3.\left ( \frac{p}{2} \right )^2}{p}$

do đó ta chỉ cần chọn $t=t_p$

 

Bài toán 2: Cho các số nguyên $a,b,c$ lớn hơn 1. Chứng minh rằng nếu với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại $k$ sao cho $a^k+b^k=2c^n$ thì $a=b$

File gửi kèm  analysis against number theory.pdf   183.25K   39 Số lần tải

em xem ở $\text{Example}\ 3$ nhé

 

Bài toán 3: Cho a,b,c là các số nguyên và $a \neq 0$ sao cho $an^2+bn+c$ là số chính phương với mọi $n>2013^{2014}$.

Chứng minh rằng tồn tại $x,y$ nguyên sao cho : $a=x^2,b=2xy,c=y^2$

đây là bài toán khá nổi tiếng

em có thể tham khảo $\text{Example}\ 2$ cùng file trên và cũng một lời giải khác ở đây,ý nghĩa bài toán nó đơn thuần chỉ cần vô hạn và phủ nên 2 lời giải trên đều có thể dùng được


Trong chủ đề: $f(f(x)+2y)=10x+f(f(y)-3x)$

19-12-2016 - 05:28

Tìm f : R->R thỏa mãn
$f(f(x)+2y)=10x+f(f(y)-3x)$

kí hiệu $\mathcal{P}(x,y):\ f\left ( f(x)+2y \right )=10x+f\left ( f(y)-3x \right )$

$\mathcal{P}\left ( x,\frac{-f(x)}{2} \right )\rightarrow f(0)=2x+f\left ( f\left ( \frac{-f(x)}{2} \right )-3x \right )$ do đó $f$ toàn ánh

nếu $\exists a\neq b:f(a)=f(b)$

$\mathcal{P}(x,a)-\mathcal{P}(x,b)\Rightarrow f\left ( f(x)+2a \right )=f\left ( f(x)+2b \right )$

kết hợp với $f$ toàn ánh do đó $\exists L\neq 0:f(x+L)=f(x)$

$\mathcal{P}\left ( x+L,y \right )\Rightarrow f\left ( f(x+L)+2y \right )=10(x+L)+f\left ( f(y)-3(x+L) \right )$

$\Rightarrow f\left ( f(x)+2y \right )=10(x+L)+f\left ( f(y)-3x \right )\Rightarrow L=0$

điều trên mâu thuẫn nên $f$ đơn ánh

tới đây cho $\mathcal{P}(0,x)$ ta dễ kiếm được nghiệm hàm


Trong chủ đề: $n\in \mathbb{N}, n\geq 2$. Chứng minh...

13-09-2016 - 21:53

$n\in \mathbb{N}, n\geq 2$. Chứng minh rằng trong mọi họ gồm ít nhất $2^{n-1}+1$ tập con không rỗng của tập ${1,2,3,...,n}$ đều tìm được $3$ tập hợp mà $1$ trong chúng là hợp của $2$ tập kia.

lời giải sau đây là ý tưởng dẫn đến $2^{n-1}+1$


Trong chủ đề: Đề thi chọn đội tuyển Nguyễn Du (Đăk Lăk)-Vòng 1

14-08-2016 - 18:21

Bài 5: Số cách chọn thoả mãn đề bài tương ứng với việc tô các số từ $1$ đến $100$ bằng $3$ màu trắng, xanh, đỏ. Trong đó: Ta chọn các lá bài cùng màu với số được tô và lá bài có số tô màu trắng không được chọn. Ta sẽ lập biểu thức truy hồi cho $R_x$,$B_x$,$W_x$ lần lượt là số cách tô màu sao cho $2$ số liên tiếp trong $x$ số đầu tiên không cùng màu xanh hoặc đỏ và số $x$ tô màu đỏ, xanh, trắng. Dễ có:

-$R_{x+1}=B_{x}+W_{x}$

-$B_{x+1}=R_{x}+W_{x}$

-$W_{x+1}=R_{x}+B_{x}+W_{x}$

Trong đó $W_1=R_1=B_1=1$, dễ thấy

-$B_{x+1}+R_{x+1}=W_{x+1}+W_{x}$

-$W_{x+2}=2W_{x+1}+W_{x}$

Số cách bốc bài là $R_{100}+B_{100}+W_{100}=2W_{100}+W_{99}=2\times(2\times 100-1)+2\times99-1=595$

anh tạo bảng và đếm truy hồi ,kết quả của anh là $(1+\sqrt{2})^{100}+(1-\sqrt{2})^{100}$ @


Trong chủ đề: Đề thi chọn đội tuyển Nguyễn Du (Đăk Lăk)-Vòng 1

13-08-2016 - 21:09

2)Ta có :$(x^5+10x^3+22x-4)^3+3x^5+22x^3+64x=2\sqrt[3]{-x^5-2x^3-20x+4}+12$

 

$\Leftrightarrow \left ( x^5+10x^3+22x-4 \right )^3+2\left ( x^5+10x^3+22x-4 \right )=\left ( -x^5-2x^3-20x+4 \right )+2\sqrt[3]{-x^5-2x^3-20x+4}$

 

Xét hàm số : $f(t)=t^3+2t\Rightarrow f'(t)=3t^2+2>0\Rightarrow \textrm{Hàm số f(t) đồng biến trên R}$

 

$\Rightarrow x^5+10x^3+22x-4=\sqrt[3]{-x^5-2x^3-20x+4}$

 

$\Leftrightarrow \left ( x^5+2x+20x-4 \right )+\sqrt[3]{x^5+2x^3+20x-4}=(-2x)^3+(-2x)$

 

Xét hàm số $f(t)=t^3+t\Rightarrow f'(t)=3t^2+1>0\Rightarrow \textrm{Hàm số f(t) đồng biến trên R}$

 

$\Rightarrow x^5+2x+22x-4=0$

 

P/s:Ai cho ý kiến về PT cuối không?

câu này hại não nhất ;)

mà phương trình cuối phải là:$x^5+10x^3+20x=4$

ý tưởng là đặt $x=\sqrt{2}\left ( a-\frac{1}{a} \right )$

có mấy đứa lớp anh là sử dụng câu $1.1$ mà anh cũng chả biết phải áp dụng sao nữa :P