Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


nhungvienkimcuong

Đăng ký: 23-12-2014
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 21:41
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Đề thi chọn đội tuyển HSGQG TP Đà Nẵng

22-09-2018 - 11:05

Ngày thi thứ nhất:

Bài 1: (5 điểm)

a) cho dãy số $(x_n)_{n>=1}$ được xác định như sau: $x_1=1, x_{n+1}= 1 + \frac{n}{x_n} , n \in \mathbb{N}*$

Đặt $y_n = \frac{x_n}{\sqrt{n}}, n \in \mathbb{N}*$. Chứng minh dãy $(y_n)_{n>=1}$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó

b) Cho dãy số thực dương $(a_n)_{n>=1}$ có $a_1=1, a_2=2$ và với mọi số nguyên dương $m, n$ đều thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:  i) $a_{mn} = a_ma_n$ ;     ii) $a_n<=2018n$      iii) $a_{m+n} <= 2019(a_m+a_n)$

Chứng minh $a_n=n$ với mọi số nguyên dương $n$

$a)$ ta chứng minh theo quy nạp rằng

 $\sqrt{n}\le x_n\le \sqrt{n}+1\Rightarrow \lim \frac{x_n}{\sqrt{n}}=1$

$b)$ bài này nếu không có điều kiện $ii)$ thì sẽ được xử lí như sau

 

 

Bài 6:(7 điểm)

Cho p là một số nguyên tố lẻ, số nguyên dương n được gọi là "tốt" nếu tồn tại đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên, có bậc bằng p và hệ số bậc cao nhất bằng 1 sao cho n là ước số của $P(k)$ với mọi số nguyên k. Một số nguyên dương mà không phải là số tốt được gọi là số "xấu". Chứng minh rằng:

a) $p$ là số tốt

b) $p^2$ là số xấu

$a)$ dễ chọn $\mathcal{P}(x)=x^p-x$

 

$b)$ giả sử tồn tại đa thức $\mathcal{P}(x)$ thỏa đề tức là $p^2\mid \mathcal{P}(n) \ \ ,\forall n$

ta sử dụng đẳng thức sau (tham khảo thêm chứng minh ở đây )

với $\mathcal{P}(x)=x^p+a_{p-1}x^{p-1}+...+a_1x+a_0$ thì ta có

$\sum_{i=0}^{p}\left ( -1 \right )^{p-i}\begin{pmatrix} p\\i \end{pmatrix}\mathcal{P}\left ( i \right )=p! \hspace{3cm} \left ( \star \right )$

từ giả thiết đề tài ta có 

$p^2\mid\text{VT}(\star )\Rightarrow p^2\mid p!\Rightarrow p\mid (p-1)!$

dễ thấy điều trên vô lí theo $\text{Wilson}$ nên ta có $\text{Q.E.D}$


Trong chủ đề: ĐỀ THI CHỌN HSGQG TỈNH PHÚ THỌ

19-09-2018 - 12:43

Bài 5: Chứng minh rằng:

b) Tồn tại $2018$ số nguyên dương liên tiếp chứa đúng $2$ số nguyên tố.

bài này khó trình bày :/

ta gọi số nguyên tố thứ $k$ là $p_k$ như sau $2=p_1<p_2<p_3<...<p_k<p_{k+1}<...$

giả sử không tồn tại $2018$ số nguyên dương liên tiếp chứa đúng $2$ số nguyên tố

vậy với $k$ mà $p_{k+1}-p_k<2017\Rightarrow \left\{\begin{matrix} p_{k}-p_{k-1}<2017\\ p_{k+2}-p_k<2017 \end{matrix}\right.$

vì nếu ngược lại khi đó $\exists t:\left\{\begin{matrix} p_k,p_{k+1} \in \left [ t,t+2017 \right ]\\ p_{k-1},p_{k+2}\not \in \left [ t,t+2017 \right ] \end{matrix}\right.$ (điều này mâu thuẫn với việc ta giả sử)

mà ta có 

$p_4-p_3=7-5<2017\Rightarrow p_{k+1}-p_k<2017,\forall k$

$\Rightarrow  \left\{\begin{matrix} p_{k}-p_{k-1}<2017\\ p_{k+2}-p_k<2017 \end{matrix}\right.,\forall k$ tức $2018$ số nguyên dương liên tiếp luôn có ít nhất $3$ số nguyên tố

điều này mâu thuẫn với câu $a)$ nên ta có $\text{Q.E.D}$


Trong chủ đề: Tìm tất cả các đa thức P(x) có hệ số $a_i \in$...

06-09-2018 - 16:28

1.Tìm tất cả các đa thức P(x) có hệ số $a_i \in$ {1;-1} có n nghiệm thực phân biệt

 

ta có thể chọn đa thức như sau $\boxed{\mathcal{P}(x)=\left\{\begin{array}{lc} x-1&,n=1\\ x^2-x-1&,n=2 \end{array}\right.}$

gọi các nghiệm của đa thức $\mathcal{P}(x)$ là $x_1,x_2,...,x_n$ thì theo viet dễ thấy $\sum x_i,\sum x_ix_j,\prod x_i \in \left \{ -1,1 \right \}$

do đó ta có

$1=\left ( \sum x_i \right )^2\ge 2\sum x_ix_j\Rightarrow \sum x_ix_j=-1$

$\Rightarrow \sum x_i^2=\left ( \sum x_i \right )^2-2\sum x_ix_j=3$

từ đây thì ta đánh giá

$3=\sum x_i^2\ge n\sqrt[n]{\left ( \prod x_i \right )^2}=n$

tới đây cũng dễ nhận thấy các đa thức bậc $3$ không thỏa đề

 

2. Tìm $a,b,c \in Z$ sao cho đa thức $P(x)=(x^2+ax+b).Q(x)$ là đa thức có hệ số 1 hoặc -1 (Q(x) là đa thức có hệ số nguyên)

dễ thấy $b\in \left \{ -1,1 \right \}$, ta đặt

$\mathcal{P}(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0,\ \ \ a_i\in \left \{ -1,1 \right \}$

gọi $z$ là nghiệm (có thể phức) của $\mathcal{P}(x)$ sao cho $\left | z \right |\neq 1$ thì ta có

$\left | z \right |^n=\left | -\sum_{i=0}^{n-1} \frac{a_i}{a_n}z^i\right |\le \sum_{i=0}^{n-1}\left | z^i \right |=\frac{\left | z \right |^n-1}{\left | z \right |-1}$

$\Rightarrow \left | z \right |^n\left ( \left | z \right |-2 \right )\le -1\Rightarrow \left | z \right |< 2$

 

từ đây ta suy ra các nghiệm (có thể phức) của $\mathcal{P}(x)$ đều có $\left | z \right |<2$

gọi $x_1,x_2$ là nghiệm của $x^2+ax+b$ , giả sử $\left | x_1 \right |\le \left | x_2 \right |$ thì ta có

$\left | x_1 \right |.\left | x_2 \right |=\left | x_1x_2 \right |=\left | b \right |=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 0< \left | x_1 \right |\le 1\\ 1\le \left | x_2 \right |<2 \end{matrix}\right.$

do vậy ta có $\left | a \right |=\left | x_1+x_2 \right |\le \left | x_1 \right |+\left | x_2 \right |<3\Rightarrow a\in \left \{ -2,-1,0,1,2 \right \}$

tới đây thử lại ta có các đa thức thỏa đề như sau

$\boxed{x^2+ax+b=\left\{\begin{array}{ll} x^2\pm 1&,Q(x)=1\\ x^2\pm x\pm 1&,Q(x)=1 \\ x^2\pm 2x+1&,Q(x)=x\mp 1 \end{array}\right.}$


Trong chủ đề: Có bao nhiêu đa thức $P(x)$ có các hệ số thuộc tập $S=...

05-09-2018 - 16:31

Cho trước số nguyên dương $n.$ Có bao nhiêu đa thức $P(x)$ có các hệ số thuộc tập $S=\left \{ 0,1,2,3 \right \}$ và thỏa mãn điều kiện $P(2)=n.$

 

Gọi các số của $x^0,x,x^2,...$ lần lượt là $a_0,a_1,a_2,...\in \mathcal{A}=\left \{ 0,1,2,3 \right \}$ ta cần tìm số nghiệm nguyên thuộc tập $\mathcal{A}$ thỏa mãn

$a_0+2a_1+4a_2+8a_3+...=n$

sử dụng hàm sinh ta có được số nghiệm cần tìm là hệ số của $x^n$ trong khai triển

$\begin{array}{cl} \mathcal{F}(x) &=\left ( x^{0.1}+x^{1.1}+x^{1.2}+x^{1.3} \right )\left ( x^{0.2}+x^{1.2}+x^{2.2}+x^{3.2} \right )\left ( x^{0.4}+x^{1.4}+x^{2.4}+x^{3.4} \right )...\\ \\&=\left ( 1+x+x^2+x^3 \right )\left ( 1+x^2+x^4+x^6 \right )\left ( 1+x^4+x^8+x^{12} \right )... \\ \\&=\frac{1-x^4}{1-x}.\frac{1-x^8}{1-x^2} .\frac{1-x^{16}}{1-x^4}... \\ \\&=\frac{1}{(1-x)(1-x^2)}\\ \\ &=(1+x+x^2+x^3+...)\left ( 1+x^2+x^4+x^6+... \right ) \end{array}$

tới đây trùng với khai triển của hàm sinh số nghiệm nguyên không âm của phương trình $a+2b=n$

tới đây thì dễ rồi và đáp số là $\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+1$


Trong chủ đề: \left\{\begin{matrix} ...\\ x_...

15-08-2018 - 10:52

Cho số thực a và xét dãy số $\left\{x_n\right\}:\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_2=0\\ x_{n+2}=\frac{x_n^2+x_{n+1}^2}{4}+a,\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$. Tìm số thực $a$ lớn nhất sao cho dãy $\left\{x_n\right\}$ hội tụ.

nếu dãy hội tụ giả sử là $\lim x_n=L$ thì từ đề cho ta có

$L=\frac{L^2}{2}+a\Rightarrow a\le \frac{1}{2}$

ta chứng minh $a=\frac{1}{2}$ thì dãy hội tụ

dễ thấy với 

$x_{n+2}=\frac{x_{n+1}^2+x_n^2}{4}+\frac{1}{2}\Rightarrow 0\le x_n\le 1$

ta có 

$x_{n+2}-1=\frac{1}{4}\left ( (x_{n+1}-1)(x_{n+1}+1)+(x_n-1)(x_n+1) \right )$

$\Rightarrow \left | x_{n+2}-1 \right |\le \frac{1}{2}\left ( \left | x_{n+1}-1 \right |+\left | x_n-1 \right | \right )$

tới đây là bài toán quen thuộc nên dễ thấy tồn tại $\lim \left | x_n-1 \right |=x\Rightarrow \lim x_n=1-x$ tới đây thì được rồi

về bài toán quen thuộc có thể tham khảo thêm ở đây File gửi kèm  giới hạn của một dãy số dạng trung bình và ứng dụng.pdf   255.1K   62 Số lần tải