Ngày thi thứ nhất:
Bài 1: (5 điểm)
a) cho dãy số $(x_n)_{n>=1}$ được xác định như sau: $x_1=1, x_{n+1}= 1 + \frac{n}{x_n} , n \in \mathbb{N}*$
Đặt $y_n = \frac{x_n}{\sqrt{n}}, n \in \mathbb{N}*$. Chứng minh dãy $(y_n)_{n>=1}$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó
b) Cho dãy số thực dương $(a_n)_{n>=1}$ có $a_1=1, a_2=2$ và với mọi số nguyên dương $m, n$ đều thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau: i) $a_{mn} = a_ma_n$ ; ii) $a_n<=2018n$ iii) $a_{m+n} <= 2019(a_m+a_n)$
Chứng minh $a_n=n$ với mọi số nguyên dương $n$
$a)$ ta chứng minh theo quy nạp rằng
$\sqrt{n}\le x_n\le \sqrt{n}+1\Rightarrow \lim \frac{x_n}{\sqrt{n}}=1$
$b)$ bài này nếu không có điều kiện $ii)$ thì sẽ được xử lí như sau
Bài 6:(7 điểm)
Cho p là một số nguyên tố lẻ, số nguyên dương n được gọi là "tốt" nếu tồn tại đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên, có bậc bằng p và hệ số bậc cao nhất bằng 1 sao cho n là ước số của $P(k)$ với mọi số nguyên k. Một số nguyên dương mà không phải là số tốt được gọi là số "xấu". Chứng minh rằng:
a) $p$ là số tốt
b) $p^2$ là số xấu
$a)$ dễ chọn $\mathcal{P}(x)=x^p-x$
$b)$ giả sử tồn tại đa thức $\mathcal{P}(x)$ thỏa đề tức là $p^2\mid \mathcal{P}(n) \ \ ,\forall n$
ta sử dụng đẳng thức sau (tham khảo thêm chứng minh ở đây )
với $\mathcal{P}(x)=x^p+a_{p-1}x^{p-1}+...+a_1x+a_0$ thì ta có
$\sum_{i=0}^{p}\left ( -1 \right )^{p-i}\begin{pmatrix} p\\i \end{pmatrix}\mathcal{P}\left ( i \right )=p! \hspace{3cm} \left ( \star \right )$
từ giả thiết đề tài ta có
$p^2\mid\text{VT}(\star )\Rightarrow p^2\mid p!\Rightarrow p\mid (p-1)!$
dễ thấy điều trên vô lí theo $\text{Wilson}$ nên ta có $\text{Q.E.D}$