Tìm số nguyên dương $n$ sao cho tổng tất cả các ước dương của $n$ (tính cả $n$) là $n(p-1)$ với $p$ là ước nguyên tố lớn nhất của $n$
Kí hiệu $\sigma(n)$ là tổng các ước dương của $n$, bài này sẽ được xử lí thông qua đánh giá sau:
\[\frac{\sigma(n)}{n}\le \text{Số ước nguyên tố của}\ n.\]
Giả sử phân tích thừa số nguyên tố của $n$ là $p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_k^{a_k}$ ($p_i$ là các số nguyên tố đôi một phân biệt, $a_i$ là các số nguyên dương), khi đó
\[\begin{align*} \frac{\sigma(n)}{n}=\prod_{i=1}^k\left ( 1+\frac{1}{p_i}+\dots+\frac{1}{p_i^{a_i}} \right )&<\prod_{i=1}^k\left ( 1+\frac{1}{p_i}+\dots+\frac{1}{p_i^{a_i}} +\cdots\right )\\&=\prod_{i=1}^k\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}<\prod_{i=1}^k\frac{1}{1-\frac{1}{i+1}}=k+1.\end{align*}\]
Với kết quả này thì phần còn lại không hề khó, kết hợp với giả thiết thì $p-1\le k$, mặt khác $p\ge 2k-1$ nên $k\le 2$. Từ đây bạn tự xử lí, chỉ cần xét $n\in \{2^x,3^x,2^x3^y\}$ rồi giải phương trình nghiệm nguyên.
Ghi chú. Một số bài toán nghiệm nguyên liên quan đến hàm số học có thể tham khảo tại đây, đây và đây.
- perfectstrong, baphuc và Nguyen Bao Khanh thích