nhungvienkimcuong

Đề thi chọn đội tuyển Olympic quốc tế năm 2024

Thời gian: 270 phút

 

Ngày thi thứ nhất: 26/03/2024

 

Bài 1. Cho đa thức $P(x)$ hệ số thực, khác hằng và hệ số của bậc cao nhất là $1$. Tìm tất cả các hàm số $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ liên tục và thỏa mãn

\[f\Big(f\big(P(x)\big)+y+2023f(y) \Big)=P(x)+2024f(y)\]

với mọi $x,y\in \mathbb{R}$.

 

Bài 2. Một khu vườn có mặt bằng là lưới ô vuông $2024 \times 2024$. Người làm vườn đặt các chậu hoa thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

1. Một chậu trồng đúng một trong ba loại hoa: cúc, hồng, lan.
2. Một ô vuông $1\times 1$ không có quá một chậu hoa.
3. Với mỗi chậu hoa cho trước, số lượng chậu trồng hoa khác loài với nó trên cùng hàng ngang và số lượng chậu trồng hoa khác loài với nó trên cùng hàng dọc thì có tổng là $3$.

Hỏi người làm vườn có thể đặt được tối đa bao nhiêu chậu cây mà có đủ cả ba loại hoa trong vườn và thỏa mãn cả ba điều kiện trên?

 

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $D,E,F$. Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là chân đường cao hạ từ đỉnh $A,B,C$ của tam giác $ABC$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $X$ qua $EF$, gọi $B'$ là điểm đối xứng với $Y$ qua $FD$ và $C'$ là điểm đối xứng với $Z$ qua $DE$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $A'B'C'$.

 

 

Nguồn: Hướng tới Olympic Toán VN (nhóm facebook)

Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2024

Thời gian: 180 phút

 

Ngày thi thứ nhất: 05/01/2024

 

Câu 1 (5 điểm)

Với mỗi số thực $x$, ta gọi $\left [ x \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.

Cho dãy số $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ xác định bởi: $a_n=\frac{1}{4^{\left [ -\log_4n \right ]}},\forall n\ge 1$. Đặt $b_n=\frac{1}{n^2}\left ( \sum_{k=1}^na_k-\frac{1}{a_1+a_2} \right ),\forall n\ge 1$.

a) Tìm một đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho $b_n=P\left ( \frac{a_n}{n} \right ),\forall n\ge 1$.

b) Chứng minh rằng tồn tại một dãy số nguyên dương $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}$ tăng thực sự sao cho $\lim_{k\to \infty}b_{n_k}=\frac{2024}{2025}.$

 

Câu 2 (5 điểm)

Tìm tất cả các đa thức $P(x),\ Q(x)$ với hệ số thực sao cho với mỗi số thực $a$ thì $P(a)$ là nghiệm của phương trình: $$x^{2023}+Q(a) x^2+(a^{2024}+a)x+a^3+2025a=0.$$

 

Câu 3 (5 điểm)

Cho $ABC$ là tam giác nhọn với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Gọi $A'$ là tâm của đường tròn đi qua $C$ và tiếp xúc với $AB$ tại $A$, gọi $B'$ là tâm của đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc với $BC$ tại $B$, gọi $C'$ là tâm của đường tròn đi qua $B$ và tiếp xúc với $CA$ tại $C$.

a) Chứng minh rằng diện tích tam giác $A'B'C'$ lớn hơn hoặc bằng diện tích tam giác $ABC$.

b) Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $O$ lên các đường thẳng $A'B',B'C',C'A'$. Biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ$ lần lượt cắt lại các đường thẳng $A'B',B'C',C'A'$ tại các điểm $X',Y',Z'(X'\neq X, Y'\neq Y, Z'\neq Z)$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AX',BY',CZ'$ đồng quy.

 

Câu 4 (5 điểm)

Người ta xếp $k$ viên bi vào các ô của một bảng $2024\times 2024$ ô vuông sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn: mỗi ô không có quá một viên bi và không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau (hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có chung một cạnh).

a) Cho $k=2024$. Hãy chỉ ra một cách xếp thỏa mãn cả hai điều kiện trên mà khi chuyển bất kì viên bi đã được xếp nào sang một ô tùy ý kề với nó thì cách xếp mới không còn thỏa mãn cả hai điều kiện nêu trên.

b) Tìm giá trị $k$ lớn nhất sao cho với mọi cách xếp $k$ viên bi thỏa mãn hai điều kiện trên ta có thể chuyển một trong số các viên bi đã được xếp sang một ô kề với nó mà cách xếp mới vẫn không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau.

 

 

Ngày thi thứ hai: 06/01/2024

 

Câu 5 (6 điểm)

Với mỗi đa thức $P(x)$, ta đặt

$$\begin{array}{l} P_1(x)=P(x),\ \forall x\in \mathbb{R};\\ P_2(x)=P(P_1(x)),\ \forall x\in \mathbb{R};\\ \quad\quad\quad \dots\\ P_{2024}(x)=P(P_{2023}(x)),\ \forall x\in \mathbb{R}. \end{array}$$

Cho $a$ là số thực lớn hơn $2$. Tồn tại hay không một đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn điều kiện: với mỗi $t\in(-a;a)$, phương trình $P_{2024}(x)=t$ có đúng $2^{2024}$ nghiệm thực phân biệt?

 

Câu 6 (7 điểm)

Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $\tau(n)$ là số các ước nguyên dương của $n$.

a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương $\tau(n)+2023=n$ với $n$ là ẩn số.

b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $k$ sao cho có đúng hai số nguyên dương $n$ thỏa mãn phương trình $\tau(kn)+2023=n$.

 

Câu 7 (7 điểm)

Trong không gian, cho đa diện lồi $D$ sao cho tại mỗi đỉnh của $D$ có đúng một số chẵn các cạnh chứa đỉnh đó. Chọn ra một mặt $F$ của $D$. Giả sử ta gán cho mỗi cạnh của $D$ một số nguyên dương sao cho điều kiện sau được thỏa mãn: với mỗi mặt (khác mặt $F$) của $D$, tổng các số được gắn với các cạnh của mặt đó là một số nguyên dương chia hết cho $2024$. Chứng minh rằng tổng các số được gán với các cạnh của mặt $F$ cũng là một số nguyên dương chia hết cho $2024$.

 

 

Nguồn: VnExpress (ngày 1, ngày 2)

Đề thi Olympic Toán quốc tế năm 2023

Thời gian: 270 phút

 

Ngày thi thứ nhất: 08/07/2023

 

Bài 1. Xác định tất cả các hợp số $n>1$ thỏa mãn điều kiện sau: nếu $d_1,d_2, \dots, d_k$ là tất cả các ước nguyên dương của $n$ với $1=d_1<d_2<\dots<d_k=n$, thì $d_i$ là ước của $d_{i+1}+d_{i+2}$ với mọi $1\le i\le k-2$.

 

Bài 2. Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB<AC$. Gọi $\Omega$ là đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$. Gọi $S$ là điểm chính giữa cung $CB$ của $\Omega$ có chứa $A$. Đường thẳng vuông góc từ $A$ đến $BC$ cắt $BS$ tại $D$ và cắt lại $\Omega$ tại $E\neq A$. Đường thẳng qua $D$ song song với $BC$ cắt đường thẳng $BE$ tại $L$. Kí hiệu đường tròn ngoại tiếp của tam giác $BDL$ bởi $\omega$. Đường tròn $\omega$ cắt lại $\Omega$ tại $P\neq B$.

Chứng minh rằng đường tiếp tuyến của $\omega$ tại $P$ cắt đường thẳng $BS$ tại một điểm nằm trên đường phân giác trong của $\angle BAC$.

 

Bài 3. Với mỗi số nguyên $k\ge 2$, xác định tất cả các dãy vô hạn các số nguyên dương $a_1, a_2, \dots,$ để khi đó tồn tại một đa thức $P$ có dạng $P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\dots+c_1x+c_0$ với $c_0, c_1, \dots, c_{k-1}$ là các số nguyên không âm, sao cho

\[P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\dots a_{n+k}\]

với mọi số nguyên $n\ge 1$.

 

 

Ngày thi thứ hai: 09/07/2023

 

Bài 4. Cho $x_1,x_2,\dots,x_{2023}$ là các số thực dương đôi một phân biệt sao cho

\[a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\dots+x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots+\frac{1}{x_n}\right)}\]

là một số nguyên với mọi $n=1,2,\dots,2023$. Chứng minh rằng $a_{2023}\ge 3034$.

 

Bài 5. Cho $n$ là một số nguyên dương. Một tam giác Nhật Bản gồm $1+2+\dots+n$ hình tròn được xếp thành một hình tam giác đều sao cho với mỗi $i=1,2,\dots,n$, hàng thứ $i$ có đúng $i$ hình tròn và trên hàng đó có đúng một hình tròn được tô màu đỏ. Một đường đi ninja trong một tam giác Nhật Bản là một dãy gồm $n$ hình tròn nhận được bằng cách xuất phát từ hàng trên cùng, đi lần lượt từ một hình tròn xuống một trong hai hình tròn ngay dưới nó, và kết thúc tại hàng dưới cùng. Trong hình vẽ là một tam giác Nhật Bản với $n=6$ và một đường đi ninja có chứa hai hình tròn màu đỏ.

 Screenshot 2023-07-09 143751.png   15.42K   34 Số lần tải

Như một hàm số của $n$, tìm giá trị lớn nhất của $k$ sao cho trong mỗi tam giác Nhật Bản luôn có một đường đi ninja chứa ít nhất $k$ hình tròn màu đỏ.

 

Bài 6. Cho tam giác đều $ABC$. Các điểm $A_1,B_1,C_1$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $BA_1=A_1C,CB_1=B_1A,AC_1=C_1B$ và

\[\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^{\circ}.\]

Cho $BC_1$ và $CB_1$ cắt nhau tại $A_2$, $CA_1$ và $AC_1$ cắt nhau tại $B_2$, $AB_1$ và $BA_1$ cắt nhau tại $C_2$.

Chứng minh rằng nếu $A_1B_1C_1$ là tam giác không cân thì các đường tròn ngoại tiếp của ba tam giác $AA_1A_2,BB_1B_2$ và $CC_1C_2$ sẽ đi qua hai điểm chung.

 

 

Nguồn: imo-official

Đề thi chọn đội tuyển Olympic quốc tế năm 2023

Thời gian: 270 phút

 

Ngày thi thứ nhất: 13/04/2023

 

Bài 1. Cho hai lớp học, lớp $A$ có $m$ học sinh và lớp $B$ có $n$ học sinh $(m,\ n>1)$. Học sinh của hai lớp ngồi quanh một bàn tròn và mỗi em học sinh X được cô giáo phát kẹo bằng với số bạn ngồi liên tiếp kề bên trái X và cùng lớp với X (nếu X không có những bạn như vậy thì X không có kẹo). Những người có cùng số kẹo được cô giáo phân chia vào cùng một nhóm.

a) Hỏi số người đông nhất của một nhóm có thể là bao nhiêu?

b) Nếu không xét nhóm mà học sinh không có kẹo thì số người đông nhất của một nhóm có thể là bao nhiêu?

 

Bài 2. Xét các hàm số sau đây trên tập số thực khác $0$:

\[P(x)=\left(x^2-1\right)^{2023},\quad Q(x)=(2x+1)^{14},\quad R(x)=\left(2x+1+\frac{2}{x}\right)^{34}.\]

Giả sử ban đầu có một danh sách gồm đúng hai hàm trong các hàm đã cho. Mỗi thao tác được phép cộng, trừ, nhân các hàm trong danh sách đó lại với nhau (hoặc lấy lũy thừa với số mũ nguyên dương một hàm trong đó). Ta cũng có thể cộng, trừ, nhân một hàm với một số thực tùy ý để tạo ra hàm mới và đưa vào danh sách. Quá trình trên có thể thực hiện nhiều lần. Chứng minh rằng từ danh sách ban đầu là hai hàm bất kì trong ba hàm đã cho, ta không thể thu được hàm còn lại.

 

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $BE,\ CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau ở trực tâm $H$ và $M$ là trung điểm $AH$. Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $EF$. Đường thẳng không đi qua $A$ và song song với $BC$ cắt cung nhỏ $AB,\ AC$ lần lượt tại các điểm $P,\ Q$. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $E$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CQE$ và tiếp tuyến tại $F$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BPF$ cắt nhau trên đường thẳng $MK$.

 

 

Ngày thi thứ hai: 14/04/2023

 

Bài 4. Cho hai số nguyên dương $a,\ b$ nguyên tố cùng nhau với $b$ lẻ và $a>2$. Xét dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_0=2,\ x_1=a$ và $x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n$ với mọi $n$ nguyên dương. Chứng minh rằng

a) Nếu $a$ chẵn thì không tồn tại các số nguyên dương $m,\ n,\ p$ để $\frac{x_m}{x_nx_p}$ là số nguyên.

b) Nếu $a$ lẻ thì không tồn tại các số nguyên dương $m,\ n,\ p$ sao cho $mnp$ chẵn và $\frac{x_m}{x_nx_p}$ là số chính phương.

 

Bài 5. Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $\widehat{B}<\widehat{A}<90^{\circ}$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ và $S$ là giao điểm của $AD$ với $BC$. Xét $R$ là một điểm thay đổi nằm bên trong tam giác $SAB$ sao cho $\widehat{ASR}=\widehat{BSR}$. Trên các đường thẳng $AR,\ BR$ lần lượt lấy các điểm $E,\ F$ sao cho $BE$ và $AF$ cùng song song với $RS$. Giả sử $EF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$ tại các điểm $H,\ K$. Trên đoạn $AB$, lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $\widehat{AHM}=\widehat{BHI}$ và $\widehat{BKN}=\widehat{AKI}$.

a) Chứng minh rằng tâm $J$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $SMN$ thuộc một đường thẳng cố định.

b) Trên $BE,\ AF$ lần lượt lấy các điểm $P,\ Q$ sao cho $CP$ song song với $SE$ và $DQ$ song song với $SF$. Các đường thẳng $SE,\ SF$ cắt lại đường tròn $(O)$ theo thứ tự tại $U,\ V$. Gọi $G$ là giao điểm của $AU$ với $BV$. Chứng minh rằng đường trung tuyến đỉnh $G$ của tam giác $GPQ$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

Bài 6. Cho số nguyên $n\ge 3$ và tập hợp $A=\{1,2,\dots,n\}$. Xác định số $k$ lớn nhất sao cho với mỗi bộ $k$ tập con có $3$ phần tử của $A$, luôn tô màu được mỗi phần tử của $A$ bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ (mỗi phần tử một màu) để không có tập con nào trong $k$ tập con trên có ba phần tử cùng màu.

 

 

Nguồn: Hướng tới Olympic Toán VN (nhóm facebook)

Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2023

Thời gian: 180 phút

 

Ngày thi thứ nhất: 24/02/2023

 

Bài 1 (5 điểm)

Xét dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $a_1=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=\sqrt[3]{3a_{n+1}-a_n}$ và $0\le a_n\le 1$, với mọi $n\ge 1$.

a) Chứng minh rằng dãy $(a_n)$ xác định duy nhất và có giới hạn hữu hạn.

b) Cho dãy số $(b_n)$ xác định bởi $b_n=(1+2a_1)(1+2^2a_2)\cdots(1+2^na_n)$ với mọi $n\ge 1$. Chứng minh rằng dãy $(b_n)$ có giới hạn hữu hạn.

 

Bài 2 (5 điểm)

Cho các số nguyên $a,\ b,\ c,\ \alpha,\ \beta$ và dãy số $(u_n)$ xác định bởi

\[u_1=\alpha,\ u_2=\beta,\ u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n+c\ \text{ với mọi }\ n\ge 1.\]

a) Chứng minh rằng nếu $a=3,\ b=-2,\ c=-1$ thì có vô số cặp số nguyên $(\alpha;\beta)$ để $u_{2023}=2^{2022}$.

b) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n_0$ sao cho có duy nhất một trong hai khẳng định sau là đúng:

    i)  Có vô số số nguyên dương $m$ để $u_{n_0}u_{n_0+1}\cdots u_{n_0+m}$ chia hết cho $7^{2023}$ hoặc $17^{2023}$;

    ii) Có vô số số nguyên dương $k$ để $u_{n_0}u_{n_0+1}\cdots u_{n_0+k}-1$ chia hết cho $2023$.

 

Bài 3 (5 điểm)

Tìm số thực dương $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức

\[\frac{1}{kab+c^2}+\frac{1}{kbc+a^2}+\frac{1}{kca+b^2}\ge \frac{k+3}{a^2+b^2+c^2}\]

đúng với mọi bộ ba số thực dương $(a;\ b;\ c)$ thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)$.

 

Bài 4 (5 điểm)

Cho tứ giác $ABCD$ có $DB=DC$ và nội tiếp một đường tròn. Gọi $M,\ N$ tương ứng là trung điểm của $AB,\ AC$ và $J,\ E,\ F$ tương ứng là các tiếp điểm của đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ với $BC,\ CA,\ AB$. Đường thẳng $MN$ cắt $JE,\ JF$ lần lượt tại $K,\ H$; $IJ$ cắt lại đường tròn $(IBC)$ tại $G$ và $DG$ cắt lại $(IBC)$ tại $T$.

a) Chứng minh rằng $JA$ đi qua trung điểm của $HK$ và vuông góc với $IT$.

b) Gọi $R,\ S$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $AB,\ AC$. Lấy các điểm $P,\ Q$ lần lượt trên $IF,\ IE$ sao cho $KP$ và $HQ$ đều vuông góc với $MN$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $MP,\ NQ$ và $RS$ đồng quy.

 

 

Ngày thi thứ hai: 25/02/2023

 

Bài 5 (6 điểm)

Xét các hàm số $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ và $g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(0)=2022$ và

\[f(x+g(y))=xf(y)+(2023-y)f(x)+g(x)\ \text{ với mọi }\ x,y\in\mathbb{R}.\]

a) Chứng minh rằng $f$ là một toàn ánh và $g$ là một đơn ánh.

b) Tìm tất cả các hàm số $f$ và $g$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

 

Bài 6 (7 điểm)

Có $n\ge 2$ lớp học tổ chức $m\ge 1$ tổ ngoại khóa cho học sinh. Lớp nào cũng có học sinh tham gia ít nhất một tổ ngoại khóa. Mọi tổ ngoại khóa đều có đúng $a$ lớp có học sinh tham gia. Với hai tổ ngoại khóa bất kỳ, có không quá $b$ lớp có học sinh tham gia đồng thời cả hai tổ này.

a) Tính $m$ khi $n=8,\ a=4,\ b=1$.

b) Chứng minh rằng $n\ge 20$ khi $m=6,\ a=10,\ b=4$.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ khi $m=20,\ a=4,\ b=1$.

 

Bài 7 (7 điểm)

Cho tam giác nhọn, không cân $ABC$ có trực tâm $H$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC,\ CA,\ AB$ tương ứng tại $M,\ N,\ P$. Gọi $\Omega_A$ là một đường tròn đi qua $A$, tiếp xúc ngoài với $(I)$ tại một điểm $A'$ và cắt lại $AB,\ AC$ tương ứng tại $A_b,\ A_c$. Các đường tròn $\Omega_B,\ \Omega_C$ và các điểm $B',\ B_a,\ B_c,\ C',\ C_a,\ C_b$ được xác định một cách tương tự.

a) Chứng minh rằng $B_cC_b+C_aA_c+A_bB_a\ge NP+PM+MN$.

b) Xét trường hợp $A',\ B',\ C'$ tương ứng thuộc các đường thẳng $AM,\ BN,\ CP$. Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh tương ứng thuộc ba đường thẳng $A_bA_c,\ B_cB_a,\ C_aC_b$. Chứng minh rằng $OH$ song song với $IK$.

 

 

Nguồn: VnExpress (ngày 1, ngày 2)