Nguyen Giap Phuong Duy

bài này có thể giải theo kiểu giải tích bằng cách lấy đạo hàm của tổng $(1+x)^n$, lời giải khá đơn giản

đây là bài thi VMO 2010. bạn có thể tìm kiếm trên diễn đàn

Chứng minh bằng công thức truy hồi của dãy Fibonacci. Xét $n$ điểm trên đường thẳng, có hai hướng chia:

- Chọn ra phần đầu tiên gồm 1 điểm, chia tiếp phần còn lại gồm $n-1$ điểm, có $F_{n-1}$ cách

- Chọn ra phần đầu tiên gồm 2 điểm, chia tiếp phần còn lại gồm $n-2$ điểm, có $F_{n-2}$ cách

tức là $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$

Cụ thể là trừ trường hợp n=2 có vô số giá trị m còn lại luôn có 2 giá trị m thỏa mãn 

Ta có : $\frac{2^{n}-1}{3}$ là số nguyên dương lẻ với n chẵn. Khi đó chọn m sao cho $\frac{2^{n}-1}{3}$ = $2m-1$ hoặc $\frac{2^{n}-1}{3}$ = $2m+1$

Vậy khi n chẵn thì ......

mình sửa lại rồi, mình đăng đề lộn

Bài 1(a) em có ý tưởng sau. Với $n=3$ thì chọn $A_1, A_2, A_3$ sao cho $A_1A_2A_3$ cân tại $A_1$

Với $n=4$ chọn $A_4$ sao cho $A_4A_1A_2$ hoặc $A_4A_1A_3$ đều.

...

Với tam giác cân tại $A_i$ là $A_iA_jA_k$ thì dựng tam giác đều $A_iA_jA_l$ hoặc $A_iA_kA_l$

$n=3$ chỉ có tam giác đều thôi bạn, còn $n=4$ nếu dựng như bạn thì được hai tam giác đều

mình cũng thử dựng tam giác đều nhưng đến $n=8$ là cụt

nếu $n$ lẻ thì chỉ cần đa giác đều là đủ
tuy nhiên bạn cố gắng phát triển ý tưởng xem sao

Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $2^n-1$ chia hết cho $3$ và $\frac{2^n-1}{3}$ là ước của một số nguyên có dạng $4m^2+1$.

Cho dãy số $x_n$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} x_1=1 \\ x_{n+1}=sin(x_n) \end{matrix}\right. (n \in \mathbb{N^*})$.

Tính $lim \sqrt{n} x_n$.

Lâu không làm giờ làm bừa 1 câu xem thế nào

 

2) Với 2 đồng, ta có 2 cách 

Với 4 đồng, ta có 4 cách

Giả sử 2n đồng có 2n cách

Ta chứng minh với 2n+2 có 2n+2 cách
Thì từ 2n có 2n cách

Thêm 2 đồng thì có thêm 2 cách: thêm 2 tờ 1 đồng và 1 tờ 2 đồng 

Nên 2n+2 đồng có 2n+2 cách (dpcm)

Mình cảm nhận chắc sẽ đếm thiếu rất nhiều vì bạn hoàn toàn không dùng tới mệnh giá 4 đồng...

 

Lời giải:

 Trong $(*)$ cho $x=y$ ta được: $$f(x^2)=f^2(x),\forall x\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ Trong $(1)$ lấy $x=0$ ta được $f(0)=0\vee f(0)=1$.

Trường hợp 1: $f(0)=0$, trong $(*)$ cho $y=0$ ta được: $$\begin{aligned}&\;\;\;\;f(x^2)=x^2\\&\Leftrightarrow f^2(x)=x^2, \forall x\in\mathbb{R}\end{aligned}$$

Từ đây suy ra $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$. Thử lại ta thấy hai hàm số này thỏa mãn bài toán.

 

$f(0)=0$
thay $y=0$ vào (*) ta có $f(x^2)=x^2$, suy ra $f(x)=x$, với mọi $x \ge 0$
thay $x=0$ vào (*) ta có $f(0)=f(y)f(-y)+y^2$

suy ra $f(y)f(-y)=-y^2, \forall y \Longrightarrow xf(-x)=-x^2, \forall x>0$

$\Longrightarrow f(-x)=-x, \forall x>0$

kết hợp $f(0)=0$ suy ra $f(x)=x, \forall x$

Vậy chỉ có một hàm thỏa bài toán thôi

Câu 3.1

Gọi $u_n$ là số miền tạo bởi $n$ đường trên mặt phẳng, suy ra $u_1=2$

Từ $n$ đường thẳng trên mặt phẳng có $u_n$ miền nếu kẻ thêm một đường thẳng nữa sẽ cắt tương ứng $n$ đường thẳng này tạo thành $n+1$ miền, suy ra $u_{n+1}=u_n+(n+1)$

Lập công thức tổng quát của $(u_n)$ ta có $u_n=1+\frac{n(n+1)}{2}$

Vậy $n$ đường thẳng chia mặt phẳng thành $1+\frac{n(n+1)}{2}$ phần