khongbietdattenlagi

GHPT $\left\{\begin{matrix} (1+x^{6})(1+y^{6})^{2}=(1+x^{2}y^{4})^{3}& & \\ x^{6}+y^{6}=2& & \end{matrix}\right.$

Theo BĐT Holder(cái này xem có topic BĐT phụ trợ nhé) ta có:

$\left ( 1+x^{6} \right )\left ( 1+y^{6} \right )^{2}\geq \left ( 1+x^{2}y^{4} \right )^{3}

Dấu = đạt được khi và chỉ khi x^{6}=y^{6}

Do đó hệ tương đương với

x^{6}=y^{6} và x^{6}+y^{6}=2$

$$\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )^{2}=\left ( \frac{1}{x\sqrt[]{x.(y+z)}}.\sqrt[]{x(y+z)}+\frac{1}{y\sqrt[]{y.(x+z)}}.\sqrt[]{y(x+z)}+\frac{1}{z\sqrt[]{z.(x+y)}}.\sqrt[]{z(x+y)}\right )^{2}\leq E.2(xy+yz+zx) \Rightarrow E\geq \frac{\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )^{2}}{2(xy+yz+zx)}=\frac{(xy+yz+zx)^{2}}{2(xy+yz+zx)}=\frac{xy+yz+zx}{2}\geq \frac{3}{2}.\sqrt[3]{{x^{2}y^{2}z^{2}}}=\tfrac{3}{2} (vì xyz=1)$$

Gọi tên của dãy là F

Gọi J là tập chứa các tập con có 2 phần tử của A .Gọi n là số phần tử của J thì:

n=$\frac{31!}{2!(31-2)!}=\frac{30.31}{2}$

Gọi Q là tập chứa các phần tử có k phần tử 2 của F.Gọi số phần tử của Q là s.

Gọi số tập con có 2 phần tử của 1 phần tử của Q là p thì:

p=$\frac{k!}{2!(k-2)!}=\frac{(k-1)k}{2}$

Do điều kiện “ii” nên tập chứa các tập con có 2 phần tử của các phần tử của Q phải đôi một khác nhau.Mà các tập này là tập con của J.Do đó số phần tử của Q thoả mãn điều kiện “ii” là:

s$\leq \frac{n}{p}=\frac{\frac{30.31}{2}}{\frac{(k-1)k}{2}}=30.31.\frac{1}{(k-1)k}$

Số phần tử m của F bằng tổng các số phần tử s của Q khi cho k lần lượt nhận các giá trị nguyên trong khoảng 2$\leq k\leq 31$ .Do đó: 

$m\leq \sum_{k=2}^{30}30.31.\frac{1}{(k-1)k}=900(dpcm)$