backtodecember12356

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + abc \ge \dfrac{2(a+b+c+abc)^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

ĐKXĐ: $-1 \leq x \leq 1$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có

$F=26\sqrt{\frac{1}{4}x^2(1-x^2)}+6\sqrt{\frac{9}{4}x^2(1+x^2)}\leq 26.\frac{\frac{1}{4}x^2+1-x^2}{2}+6.\frac{\frac{9}{4}x^2+1+x^2}{2}=16$

Dễ thấy $F \geq 0$

Vậy Min $F=0$. Dấu "=" xảy ra khi $x=0$

       Max $F=16$. Dấu "=" xảy ra khi $x=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}$

 Làm sao nhẩm được dấu bằng bạn ???

Cho $a+b+c=3$.Tìm min: 

$F=a^3+b^3+c^3+11(a^2+b^2+c^2)+18abc$

Tìm min,max: $F=13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}$

Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi x=z=ky(k>0)

Ta có:

$2xz \le x^2+z^2$

$xy=\dfrac{1}{k} . x . (ky) \le \dfrac{1}{2k} (x^2+k^2y^2)$

Tương tự: $yz \le \dfrac{1}{2k} (z^2+k^2y^2)$

Suy ra: $P \le (1+\dfrac{1}{2k})(x^2+z^2) + ky^2$

Ta chọn k sao cho $1+\dfrac{1}{2k} = k$

$\leftrightarrow k=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$

Suy ra: $P \le \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}(x^2+y^2+z^2) = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$