vandong98

Gọi G' là trọng tâm tam giác ABC. Dễ c/m: S,G,G' thẳng hàng và $\frac{SG}{SG'}=\frac{3}{4}$

Ta có: $\frac{SG}{SG'}.\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}=\frac{V_{S.MNG}}{V_{S.ABG'}}=3.\frac{V_{S.MNG}}{V_{S.ABC}}$

tuơng tự suy ra:

$\frac{SG}{SG'}(\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}+\frac{SN}{SB}.\frac{SP}{SC}+\frac{SP}{SC}.\frac{SM}{SA})=3.\frac{V_{S.MNG}+V_{S.NPG}+V_{S.PAG}}{V_{S.ABC}}=3.\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}=3.\frac{SM.SN.SP}{SA.SB.SC}\Leftrightarrow SM.SN+SN.SP+SP.SA=4.SM.SN.SP\Rightarrow ĐPCM$

Ta có: $\frac{a}{ab+b^{3}}=\frac{1}{b}-\frac{b^{3}}{b(ab+b^{3})}\geq  \frac{1}{b}-\frac{b^{3}}{b.2\sqrt{ab.b^{3}}}=\frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}}$

do đó: $VT\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}})\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

Đặt $t=\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\geq \sqrt{3}\Rightarrow VT\geq t^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}.t$

sau đó xet hàm số: $f(t)= t^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}.t$ trên $[3;+\infty )$. từ đó suy ra đpcm  

+ TH1: x>1: $8x^{3}-6x>2x>\sqrt{2x+2}\Rightarrow $ pt không có nghiệm x>1.

+TH2:  $-1\leq x\leq 1$: đặt $x=cos\alpha (\alpha \in [0,2\Pi ])$ khi đó pt trở thành:

$8cos^{3}\alpha -6cos\alpha =\sqrt{2cos\alpha +2} \Leftrightarrow 2cos3\alpha =2|cos\frac{\alpha }{2}|\Leftrightarrow cos3\alpha =|cos\frac{\alpha }{2}|$

giải pt lượng giác đó ùi thế vào tìm x.

ta có: $(cosx+cosy+cosz)^{2}+(sinx+siny+sinz)^{2}=0\Leftrightarrow cos(x-y)+cos(y-z)+cos(z-x)=\frac{-3}{2}$

Đặt $a=\Pi -x+y;b=\Pi -y+z;c=\Pi -z+x\Rightarrow a+b+c=3\Pi $ ($a,b\geq \Pi $ và $c\leq \Pi $)

suy ra: $cosa+cosb+cosc=\frac{3}{2}$(1)

Ta sẽ c/m: $cosa+cosb+cosc\leq  \frac{3}{2}$

Thật vậy: $cosa+cosb+cosc=2cos(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})+1-2sin^{2}(\frac{c}{2})\leq 2cos(\frac{3\Pi -c}{2})+1-2sin^{2}(\frac{c}{2})=1-2sin^{2}(\frac{c}{2})-2sin\frac{c}{2}=\frac{3}{2}-2(sin\frac{c}{2}+\frac{1}{2})^{2}\leq \frac{3}{2}$

Vậy (1) xảy ra khi và chỉ khi $\begin{Bmatrix}a=b &\\&sin\frac{c}{2}=\frac{-1}{2}\end{Bmatrix}$$\Leftrightarrow a=b=\frac{5\Pi }{3};c=\frac{-\Pi }{3}\Rightarrow y-x=z-y\Leftrightarrow x+z=2y$

Do đó x,y,z lập thành cấp số cộng

không được tự nhiên hen

giai giup em bài 2a với

ta có: $(cosx+cosy+cosz)^{2}+(sinx+siny+sinz)^{2}=0\Leftrightarrow cos(x-y)+cos(y-z)+cos(z-x)=\frac{-3}{2}$

Đặt $a=\Pi -x+y;b=\Pi -y+z;c=\Pi -z+x\Rightarrow a+b+c=3\Pi $ ($a,b\geq \Pi $ và $c\leq \Pi $)

suy ra: $cosa+cosb+cosc=\frac{3}{2}$(1)

Ta sẽ c/m: $cosa+cosb+cosc\leq  \frac{3}{2}$

Thật vậy: $cosa+cosb+cosc=2cos(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})+1-2sin^{2}(\frac{c}{2})\leq 2cos(\frac{3\Pi -c}{2})+1-2sin^{2}(\frac{c}{2})=1-2sin^{2}(\frac{c}{2})-2sin\frac{c}{2}=\frac{3}{2}-2(sin\frac{c}{2}+\frac{1}{2})^{2}\leq \frac{3}{2}$

Vậy (1) xảy ra khi và chỉ khi $\begin{Bmatrix}a=b &\\&sin\frac{c}{2}=\frac{-1}{2}\end{Bmatrix}$$\Leftrightarrow a=b=\frac{5\Pi }{3};c=\frac{-\Pi }{3}\Rightarrow y-x=z-y\Leftrightarrow x+z=2y$

Do đó x,y,z lập thành cấp số cộng