vandong98

Gọi G' là trọng tâm tam giác ABC. Dễ c/m: S,G,G' thẳng hàng và $\frac{SG}{SG'}=\frac{3}{4}$

Ta có: $\frac{SG}{SG'}.\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}=\frac{V_{S.MNG}}{V_{S.ABG'}}=3.\frac{V_{S.MNG}}{V_{S.ABC}}$

tuơng tự suy ra:

$\frac{SG}{SG'}(\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}+\frac{SN}{SB}.\frac{SP}{SC}+\frac{SP}{SC}.\frac{SM}{SA})=3.\frac{V_{S.MNG}+V_{S.NPG}+V_{S.PAG}}{V_{S.ABC}}=3.\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}=3.\frac{SM.SN.SP}{SA.SB.SC}\Leftrightarrow SM.SN+SN.SP+SP.SA=4.SM.SN.SP\Rightarrow ĐPCM$

+ TH1: x>1: $8x^{3}-6x>2x>\sqrt{2x+2}\Rightarrow $ pt không có nghiệm x>1.

+TH2:  $-1\leq x\leq 1$: đặt $x=cos\alpha (\alpha \in [0,2\Pi ])$ khi đó pt trở thành:

$8cos^{3}\alpha -6cos\alpha =\sqrt{2cos\alpha +2} \Leftrightarrow 2cos3\alpha =2|cos\frac{\alpha }{2}|\Leftrightarrow cos3\alpha =|cos\frac{\alpha }{2}|$

giải pt lượng giác đó ùi thế vào tìm x.

giai giup em bài 2a với

ta có: $(cosx+cosy+cosz)^{2}+(sinx+siny+sinz)^{2}=0\Leftrightarrow cos(x-y)+cos(y-z)+cos(z-x)=\frac{-3}{2}$

Đặt $a=\Pi -x+y;b=\Pi -y+z;c=\Pi -z+x\Rightarrow a+b+c=3\Pi $ ($a,b\geq \Pi $ và $c\leq \Pi $)

suy ra: $cosa+cosb+cosc=\frac{3}{2}$(1)

Ta sẽ c/m: $cosa+cosb+cosc\leq  \frac{3}{2}$

Thật vậy: $cosa+cosb+cosc=2cos(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})+1-2sin^{2}(\frac{c}{2})\leq 2cos(\frac{3\Pi -c}{2})+1-2sin^{2}(\frac{c}{2})=1-2sin^{2}(\frac{c}{2})-2sin\frac{c}{2}=\frac{3}{2}-2(sin\frac{c}{2}+\frac{1}{2})^{2}\leq \frac{3}{2}$

Vậy (1) xảy ra khi và chỉ khi $\begin{Bmatrix}a=b &\\&sin\frac{c}{2}=\frac{-1}{2}\end{Bmatrix}$$\Leftrightarrow a=b=\frac{5\Pi }{3};c=\frac{-\Pi }{3}\Rightarrow y-x=z-y\Leftrightarrow x+z=2y$

Do đó x,y,z lập thành cấp số cộng

$(1)\Leftrightarrow 2y+6y^{2}=x-y\sqrt{x-2y}\Leftrightarrow (x-2y)-y\sqrt{x-2y}-6y^{2}=0\Leftrightarrow (\frac{\sqrt{x-2y}}{y})^{2}-(\frac{\sqrt{x-2y}}{y})-6=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}\sqrt{x-2y}=3y & \\\sqrt{x-2y}=-2y&\end{bmatrix}$

Ta có: $k.(C_{n}^{k})^{2}=k.\frac{n!}{k!.(n-k)!}.\frac{n!}{k!.(n-k)!}=n.C_{n-1}^{k-1}.C_{n}^{k}=n.C_{n-1}^{k-1}.C_{n}^{n-k}$

Do đó: $VT=n(\sum_{k=1}^{n}C_{n-1}^{k-1}.C_{n}^{n-k})$

Xét 2 đa thức: $(x+1)^{2n-1}$ và $(x+1)^{n-1}.(x+1)^{n}$ có hệ số của $x^{n-1}$ lần lượt là: $C_{2n-1}^{n-1}$ và $\sum_{k=1}^{n}C_{n-1}^{k-1}.C_{n}^{n-k}$

Từ đó suy ra đpcm

ĐK: $x,y>0$

cộng 2 vế pt ta được: $x+x.log_{2}72=2y+y.log_{2}y\Leftrightarrow x+x(log_{2}8+log_{2}9)=2y+y.log_{2}y\Leftrightarrow 4x+2x.log_{2}3=2y+y.log_{2}3\Leftrightarrow y=2x$. Thay vào tính x,y

2) Ta có: Dãy số $(U_{n}):$ $\left\{\begin{matrix} U_{1}=\sqrt{6} & \\ U_{n+1}=\sqrt{U_{n}+6}& \end{matrix}\right.$

Dễ dàng c/m: $(U_{n})$ tăng và $U_{n}< 3 $.

Do đó Dãy  $(U_{n})$ có giới hạn.

Đặt $limU_{n}=L(0<L\leq 3 )$ $\Rightarrow$ $L=\sqrt{L+6}\Leftrightarrow L^{2}-L-6=0\Leftrightarrow L=3$

Vậy $limU_{n}=3$

Phân2:

1) ta có: $\frac{2}{n^{2}+n}\leq \frac{2}{n^{2}+k}\leq \frac{2}{n^{2}+1}(k=\overline{1,n})\Rightarrow \frac{2n}{n^{2}+n}\leq U_{n}\leq \frac{2n}{n^{2}+1}$

Mà $lim\frac{2n}{n^{2}+n}=lim\frac{2n}{n^{2}+1}=2\Rightarrow limU_{n}=2$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x-1}}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\sqrt{x+1}-1)+(\sqrt[3]{x-1}+1)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{x}{\sqrt[3]{x-1}^{2}-\sqrt[3]{x-1}+1}}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}^{2}-\sqrt[3]{x-1}+1})=\frac{3}{2}$

$\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}+\frac{(x+y)^{2}}{2}}\geq \sqrt{\frac{(x+y)^{2}}{4}+\frac{(x+y)^{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.(x+y)$.

tương tự suy ra:

$P\geq \sqrt{3}.(x+y+z)=3\sqrt{3}\Rightarrow minP=3\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z=1$

bài 2: ĐK: $2^{x}-1\geq 0$ và $|x|\neq 0$ $\Leftrightarrow$ $x> 0.$.

à. tại vì muốn bỏ đi cái mẫu 6 đó. đây là dãy tuần hoàn nè

+Đặt $ u_{1}=cot \alpha = \sqrt[7]{2011} $.

$\Rightarrow u_{2}=\frac{\sqrt{3}.cot\alpha +1}{\sqrt{3}-cot\alpha }=\frac{cot( \frac{\pi}{6}).cot\alpha +1}{cot(\frac{\pi }{6})-cot\alpha }=cot(\alpha -\frac{\pi }{6})$.

từ đó tổng quát: $u_{n}=cot(\alpha -(n-1).\frac{\pi }{6})$  với $n\geqslant 2$.dễ dàng c/m bằng quy nạp.

+tiếp đó ta tìm số dư của $20^{2011}$ chia 6. ta có: $20^{2011}\equiv 2^{2011} (mod6)$ mà $2^{2011}\equiv 2(mod6)$.

vậy đặt $20^{2011}$=$6t+2)$.

+ $u_{k}=cot(\alpha -(6k+2-1)\frac{\pi }{6})=cot(\alpha -\frac{\pi }{6}-k\pi )=cot(\alpha -\frac{\pi }{6})=u_{2}=\frac{1+\sqrt{3}.\sqrt[7]{2011}}{\sqrt{3}-\sqrt[7]{2011}}$

+ $y=0 => x=1$. (1;0) không phải là nghiệm.
+ $y\neq 0$: đặt $x=yt$, khi đó pt(1) trở thành $y^{3}.t^{3}+2y^{3}+yt.y(yt-y)=0\Leftrightarrow t^{3}+t^{2}-t+2=0\Leftrightarrow t=-2$.

do đó, thay $x= -2y$ vào pt(2) ta tính được:$ y=-1 => x=2$.

 vậy $(2;-1)$ là nghiệm của hệ.