chatditvit

Tìm tất cả các số nguyên tố p và các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $\frac{x^3y}{x+y}=p$

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. CMR: $\sum \frac{a}{1+bc}\leq \sqrt{2}$

1.Kẻ BH vuông góc với AC. Cần chứng minh: BH=HO. Đặt CH=x(cm). $\Delta CHB\sim CBA$. Từ đó tính được HO=HB=2x(cm)

$\rightarrow \widehat{BOC}=45^{o}$

2. Ta có: $\frac{AM}{AC}=\frac{AM}{AB}=\frac{DM}{DN}=\frac{CB}{CN}=\frac{AC}{NC}$

$\rightarrow \Delta ANC\sim \Delta MCA(c.g.c)\rightarrow 60^{o}=\widehat{ACK}+\widehat{NCK}=\widehat{ANC}+\widehat{NCK}=\widehat{AKC} \rightarrow \widehat{AKC}=60^{o}$

Ta có:

8=$\sqrt{1-x^2}+\sqrt{16-y^2}+\sqrt{25-z^2}\leq \sqrt{(1+4+5)^2-(x+y+z)^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \frac{x}{1}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=\frac{3}{5} \Leftrightarrow x=\frac{3}{5};y=\frac{12}{5};z=3$

Đặt $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}.$

$\rightarrow VT=\sum \frac{\frac{x}{y}}{\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}}=\sum \frac{xz}{(x+y)(y+z)}=\sum \frac{x^2z^2}{xz(x+y)(y+z)}\geq \frac{(\sum xz)^2}{3xyz(\sum x)+\sum x^2z^2}=\frac{(\sum xz)^2}{(\sum xz)^2+xyz(\sum x)}\geq \frac{\left ( \sum xz \right )^2}{(\sum xz)^2+\frac{\left ( \sum xz \right )^2}{3}}=\frac{3}{4}$

Dấu $"= "$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Ta có: $x+y+z=\frac{1}{2}[x+(y+z)+(y+z)]\geq \frac{3}{2}.\sqrt[3]{2x(y+z)^2} \rightarrow \frac{27x^3}{4(x+y+z)^3}\leq \frac{x^2}{(y+z)^2}\rightarrow Q.E.D$

$VT\geq \sum \frac{1+a^2}{1+\frac{b^2+1}{2}+c^2}=\sum \frac{2(1+a^2)}{b^2+2c^2+3}$

Đặt: $1+a^2=x; 1+b^2=y; 1+c^2=z$

$\rightarrow$$VT\geq \sum \frac{2x}{2z+y}.$ $\rightarrow \frac{1}{2}VT\geq \sum \frac{x}{2z+y}=\sum \frac{x^2}{2xz+xy}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3(xy+yz+xz)}\geq 1$ $\rightarrow VT\geq 2\rightarrow Q.E.D$

Cách 1: Kẻ AH, AK $\perp$ với BN và DM.
Ta có: $S(ADM)=S(ABN)=\frac{1}{2}S(ABCD)$. Mà $DM= BN$ $\rightarrow$ $AK=AH$ 
$\rightarrow$ PA là phân giác $\widehat{BPD}$ $\rightarrow$ $Q.E.D$
Cách 2: Kẻ BP, AP kéo dài cắt BC, AD tại E, F.
Ta có: $\frac{PD}{PF}=\frac{PM}{BP}=\frac{DM}{BF}=\frac{BN}{BF}=\frac{AD}{AF}. \rightarrow$ PA là phân giác ngoài $\widehat{DPF}$ ( tính chất đường phân giác ngoài tam giác ).
$\rightarrow$ PA là phân giác $\widehat{BPD}$

$\rightarrow Q.E.D.$

$\Leftrightarrow \frac{DM}{CM}=\frac{CE}{CK}.\frac{CK}{CA}=\frac{CD}{BC}.\frac{CA-BA}{CA}=\frac{CD}{BC}.(1-\frac{BA}{CA})=\frac{CD}{BC}.(1-\frac{BD}{CD})=\frac{CD}{BC}.\frac{CD-BD}{CD}=\frac{CD-BD}{BC}=\frac{2MD}{2MC}=\frac{MD}{MC} \Leftrightarrow Q.E.D$