Đến nội dung

Arithmetic05

Arithmetic05

Đăng ký: 07-01-2015
Offline Đăng nhập: 21-02-2016 - 20:00
-----

#543605 Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán ĐH Ngoại thương năm 2015

Gửi bởi Arithmetic05 trong 10-02-2015 - 00:25

Bài 1: Tính định thức: $$F_n=\begin{vmatrix} 1 & -1 &0 &... &0&0 \\ 1 &1 &-1 &... &0 &0\\ 0 &1 &1&... &0 &0\\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &1&-1\\0 &0 &0 &... &1&1 \end{vmatrix}$$ trong đó  $n \in N^*$
Chứng minh rằng $(F_n)$ là dãy số Fibonaxi.
Bài 2: Cho $m,n \in N$, $0 \leq n \leq m+1$. Tìm một hệ con độc lập tuyến tính tối đại  của hệ vec-tơ sau: $S={x_i=(1,C_{m+i}^1,C_{m+i}^2,…,C_{m+i}^{n-1})}_{i=1}^n$.
Bài 3: Tính định thức:$$D_n=\begin{vmatrix}a+b & ab &0 &... &0 \\ 1 &a+b &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$
Bài 4: Cho $A \in Mat(2015, R)$, $A^{2015}=2015A$.
Hãy giải hệ phương trình?
$$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1&+\; a_{12}x_2  &...  & +\; a_{1,2015}x_{2015}x_n & =x_1\\ a_{21}x_1&+a_{22}x_2  & ... & +\;a_{2,2015}x_{2015} &=x_2 \\ ...&  & ... &  & ... & \\ a_{2015,1}x_1&+\;a_{2015,2}x_2 &...  & +\;a_{2015,2015}x_{2015}  &=x_{2015}\\\end{matrix}\right. $$
Bài 5: Giả sử $A \in Mat(n,R), det A \neq 0$ và mỗi dòng của A có đúng một số khác không bằng $\pm 1$. Chứng minh rằng:
a) $A^t=A^{-1}$
b) Có số tự nhiên $m$ để $A^m=A^{-1}$
Bài 6: Cho ma trận $A \in Mat(n, R)$, với $A=[a_{ij}]$ mà $a_{ii}=0$ với mọi $i=1,2…, n$. Chứng minh rằng tồn tại các ma trận B và C $\in Mat(n, R)$để $A=BC-CB$.
Bài 7: Cho đa thức $P(x)$ có hệ số thực thỏa mãn $P(2015)=2015!$ và $xP(x-1)=(x-2014)P(x)$. Đa thức $P^2(x)+1$ có thể phân tích thành tích của hai đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 với hệ số nguyên được không?chán

Bài 4. Hệ phương trình tương đương 

$$\left\{\begin{matrix} (a_{11}-1)x_1&+\; a_{12}x_2  &...  & +\; a_{1,2015}x_{2015}x_n & =0\\ a_{21}x_1&+(a_{22}-1)x_2  & ... & +\;a_{2,2015}x_{2015} &=0 \\ ...&  & ... &  & ... & \\ a_{2015,1}x_1&+\;a_{2015,2}x_2 &...  & +\;(a_{2015,2015}-1)x_{2015}  &=0\\\end{matrix}\right. $$

Ta xét ma trận hệ số của hệ trên ta có 

$$B=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}-1&a_{12}&\ldots&a_{1,2015}\\ a_{21}&a_{22}-1&\ldots&a_{2,2015}\\ \ldots & \ldots &\ldots &\ldots \\ a_{2015,1}&a_{2015,2}&\ldots&a_{2015,2015}-1\end{array}\right)=A-I$$

Theo giả thiết ta có $A^{2015}=2015A$. Suy ra $A^{2015}-I-2015(A-I)=2014I \Leftrightarrow (A-I)(A^{2014}+A^{2013}+\ldots+A-2014I)=2014I$.

Từ đây ta có $\det(A-I)\ne 0$. Do đó $\det(B)\ne 0$. Vây hệ phương trình duy nhất một nghiệm tầm thường là $(0,0,0,\ldots,0)$.