Đến nội dung


vda2000

Đăng ký: 09-01-2015
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 18:39
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: BMO 2017

07-05-2017 - 09:18

Bài 3:

Theo em biết thì nước ngoài hiểu $\mathbb{N}={1,2,...}$

Giả sử một hàm $f$ thỏa mãn đề bài.

Ta có: $n+f(m)|f(n)+nf(m)$ nên: $n+f(m)|f(n)-n^2$ $(1)$ và: $n+f(m)|f(n)-[f(m)]^2$ $(2)$

Giả sử rằng $f(m)$ chỉ nhận hữu hạn giá trị trên $\mathbb{N}$

Khi đó, tồn tại tập $A={n_1,n_2,...}$ có vô hạn phần tử, được sắp thứ tự tăng dần sao cho: $f(n_1)=f(n_2)=...=a$

Thay $m=n_1, n=n_i$, suy ra:

$n_i+a|a-a^2$. Theo cách định nghĩa của ta, cho $i\rightarrow +\infty$ thì $n_i\rightarrow +\infty$, suy ra:

$a-a^2=0$, vì xét hàm trên $\mathbb{N}$ suy ra: $a=1$

Cố định $m_0$ trong $(2)$, thay $n=n_i$, suy ra:

$n_i+f(m_0)|1-[f(m_0)]^2$

Một lần nữa, cho $i\rightarrow +\infty$, $n_i\rightarrow +\infty$, dẫn đến: $f(m_0)=1$, từ đó suy ra: $f(x)=1$, với mọi $x\in\mathbb{N}$

Trường hợp tập giá trị của $f(m)$ không bị chặn, làm giống bạn @Minhnksc


Trong chủ đề: Đề Thi VMO năm 2017

05-01-2017 - 14:28

Tất cả a đều thoả

thực chất $a\geq\frac{-1}{10}$ để $u_2$ xác định nữa


Trong chủ đề: Tuần 4 tháng 11/2016 : Trục đẳng phương đi qua trực tâm

24-11-2016 - 11:27

Ta chứng minh hai sự kiện sau:
 
1) $EF$ là trục đẳng phương của $(O)$ và đường tròn đường kính $LH$ với $E,F$ là chân đường cao hạ từ $B,C$ xuống $AC,AB$.
File gửi kèm  PART1.jpg   40.63K   9 Số lần tải
Gọi $d$ là trục đẳng phương của $(O)$ và đường tròn đường kính $LH$, $R$ là giao điểm của đường tròn đường kính $AH$ với $(O)$, khác $A$ và $Z$ là chân đường vuông góc hạ từ $H$ xuống $AM$
Gọi $U,V$ lần lượt là trung điểm của: $LH,LA$, ta có một số điều sau suy ra từ đường trung bình trong tam giác:
$UV//AH//OM$ và $UV=OM=\frac{AH}{2}$, suy ra $UVOM$ là hình bình hành, suy ra $U,A,O$ thằng hàng.
Xét $3$ đường tròn sau: đường tròn đường kính $AH$, đường tròn đường kính $LH$ và đường tròn $(O)$, suy ra:
$d$, $AR$, $HZ$ đồng quy.
Theo một kết quả khá quen thuộc, ta có: $AR,HZ,EF,BC$ cùng đi qua điểm $S$ nên $S$ thuộc $d$.
Mà: $d\bot UO\equiv AO$, $EF\bot AO$ nên ta có: $d\equiv EF$, ta chứng minh xong sự kiện thứ nhất.
 
2) Ta sẽ chứng minh kết quả của bài toán.
Gọi $J,M$ lần lượt là trung điểm của $AH,BC$ $ON\bot PH$, $H'$ đối xứng với $H$ qua $OM$
Bằng cách lược bỏ đi một số điểm không cần thiết như $L,K,...$, ta có hình sau:
File gửi kèm  PART2.jpg   36.29K   8 Số lần tải
Điều phải chứng minh tương đương với:
$HK.HO=HJ.HD$

Spoiler

Hay điều phải chứng minh tương đương với: $\frac{SB}{BE}=\frac{HB}{HH'}$, nhưng điều này luôn đúng vì:
$\widehat{SBE}=\widehat{BHH'}$ và $\widehat{SEB}=\widehat{HCB}=\widehat{BH'H}$.
Vậy ta có điều phải chứng minh


Trong chủ đề: Đề thi chọn đội tuyển quốc gia THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội vòng 2 năm...

26-09-2016 - 20:50

File gửi kèm  hình.jpg   45.07K   7 Số lần tải

Lời giải bài hình của em:

Lời giải.
a) Ta gọi $AH$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $A'. HG$ cắt $BC$ tại $ F'$
Ta sẽ chứng minh $F,F',A'$ thẳng hàng.
Thật vậy: $∠F'HA'=∠F'A'H=∠EAH=∠FA'H$ ( vì  $HP// AE$ và $AEFA'$ là hình thang cân do $EF//AA'$) , suy ra $F,F',A'$ thẳng hàng.
Khi  đó, ta có: $∠FGF'=∠QAE=∠FA'P$ (dựa vào tính song song của gt và $AQPA'$ là hình thang cân) , suy ra:$ PFGA' $nội tiếp, nên theo tính chất phương tích:
$F'P.F'G=F'F.F'A'=F'B.F'C$, suy ra: $BPCG$ nội tiếp (đpcm)
 
b) Gọi $A'F$ cắt trung trực của $BC$ tại $S$.
Theo định lý Reim: $QS//AA'; FRA'A$ nội tiếp nên: $FRSQ$ nội tiếp.
Phần còn lại em dùng tính toán và mọi người chắc cũng không thích xem nó.
Tính toán
 

 


Trong chủ đề: CMR: $\sum \frac{ab}{(a-b)^2}\ge \frac{-1}{4}$

09-05-2016 - 17:12

Ta thấy rằng, nếu đặt: $(x,y,z)\rightarrow(\frac{a+b}{a-b};\frac{b+c}{b-c};\frac{c+a}{c-a})$ thì:

$(x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)$ hay: $xy+yz+zx=-1$

Mặt khác: $(x+y+z)^2\geq 0$ hay:

$x^2+y^2+z^2\geq -2(xy+yz+zx)=2$

$\Leftrightarrow \sum\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}\geq 2$

$\Leftrightarrow\sum\frac{(a-b)^2+4ab}{(a-b)^2}\geq 2$

$\Leftrightarrow\sum\frac{ab}{(a-b)^2}\geq\frac{-1}{4}$