phunguyen

Trước tiên ta nhận thấy $C_n^k = \dfrac{n}{k}C_{n-1}^{k-1}$. Điều này dễ thấy bằng cách biến đổi tương đương. Khi đó:

\[\frac{1}{{C_{2017}^1}} + \frac{1}{{C_{2017}^2}} + ... + \frac{1}{{C_{2017}^{2017}}} = \sum\limits_{i = 1}^{2017} {\frac{1}{{C_{2017}^i}}} = \sum\limits_{i = 1}^{2017} {\frac{i}{{2017}} \cdot \frac{1}{{C_{2016}^{i - 1}}}} = \frac{1}{{2017}} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{2017} {\frac{i}{{C_{2016}^{i - 1}}}} , (*)\]

Xét \[A= \sum\limits_{i = 1}^{2017} {\frac{i}{{C_{2016}^{i - 1}}}} = \frac{1}{{C_{2016}^0}} + \frac{2}{{C_{2016}^1}} + ... + \frac{{2016}}{{C_{2016}^{2015}}} + \frac{{2017}}{{C_{2016}^{2016}}}\]

Áp dụng tính của tổ hợp ta có: $C_{2016}^i = C_{2016}^{2016-i}, i = \overline{1,2016}$. Áp dụng vào $A$, ta được:

$$A =  \sum\limits_{i = 1}^{2017} {\frac{i}{{C_{2016}^{i - 1}}}} = 1009 \cdot \left[ {\left( {\frac{1}{{C_{2016}^0}} + \frac{1}{{C_{2016}^{2016}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{C_{2016}^1}} + \frac{1}{{C_{2016}^{2015}}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{C_{2016}^{1007}}} + \frac{1}{{C_{2016}^{1009}}}} \right) + \frac{1}{{C_{2016}^{1008}}}} \right] $$

$$=  1009 \cdot \sum\limits_{i = 1}^{2017} {\frac{1}{{C_{2016}^{i - 1}}}} (**)$$

Thay $(**)$ vào $(*)$ ta được đpcm.

Trích trong đề thi Đại số sơ cấp của Đại học Khoa học tự nhiên:

Cho $n$ ($n \geq 3$) điểm trên mặt phẳng sao cho không có $3$ điểm nào thẳng hàng. Gọi $T$ là một họ các tam giác có các đỉnh từ $n$ điểm trên sao cho hai tam giác bất kỳ trong họ $T$ có ít nhất một đỉnh chung. Hãy chứng minh rằng:

$ |T| \leq C_{n-1}^2 $