Đến nội dung

bvptdhv

bvptdhv

Đăng ký: 11-01-2015
Offline Đăng nhập: 13-08-2016 - 18:15
*****

#609605 Chứng minh $HM$ luôn đi qua điểm cố định

Gửi bởi bvptdhv trong 18-01-2016 - 17:32

Kẻ đường kính $CA_{1}$ và $BA_{2}$

 

Dễ thấy

Với $M$ là trung điểm $BA_{1}$ thi` $OA_{1} // BC$, tương tự với N là trung điểm $A_{2}C$ và NH vuông góc $BA_{1}$ thì $ON//BC=>M,O,N$ thẳng hàng

Nhận thấy OM và NH cùng đi qua điểm N nằm trên cạnh MN của hình chữ nhật BCNM cố định




#607871 Chứng minh rằng $\sqrt{11a+6b+8(1+ab)}$ không phải l...

Gửi bởi bvptdhv trong 08-01-2016 - 09:01

Chứng minh rằng $\sqrt{11a+6b+8(1+ab)}$ không phải là 1 số nguyên với các số nguyên $a,b \geq 0$

P/s: Đề mình chế, có gì sơ suất mong các bạn thông cảm :D




#607851 \sqrt{x^{2}+4}+2\sqrt{x^{2}-4x+5...

Gửi bởi bvptdhv trong 07-01-2016 - 22:52

$\sqrt{x^{2}+4}+2\sqrt{x^{2}-4x+5}\leq 5$

Nhận thấy $\sqrt{x^{2}+4} \geq 2=>2\sqrt{x^{2}-4x+5} \leq 3$ và $2\sqrt{x^{2}-4x+5} \geq 2 =>\sqrt{x^{2}+4} \leq 3$

Từ đây ta có hệ BPT

$$2 \leq 2\sqrt{x^{2}-4x+5} \leq 3$$

$$2 \leq \sqrt{x^{2}+4} \leq 3$$

Đến đây bài toán rõ ràng rồi




#607496 $(a+b+c)^{3}-4(a+b+c)(ab+bc+ca)+9abc\geq 0$

Gửi bởi bvptdhv trong 06-01-2016 - 10:29

BĐT cần CM $$<=>a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)+9abc \geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
 

BĐT trên đúng khi ta chứng minh được $12abc+3(a+b)(b+c)(c+a) \geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$

Đến đây phân tách ra dễ thấy $đpcm$




#607335 $\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+ab+b^2} \leq...

Gửi bởi bvptdhv trong 05-01-2016 - 16:36

BĐT cần CM <=> $\sum \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{6(\sum a^{2})}{(\sum a)^{2}} \geq 6$

$<=>\frac{2(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ca0}+\frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}} \geq 3$

Ta có $$\frac{3 \sum a^{2}}{(\sum a)^{2}}= \frac{2[2(\sum a^{2})+ab+bc+ca]}{(a+b+c)^{2}}-1$$

$$<=>\frac{(\sum a)^{2}}{2\sum a^{2}+\sum ab}+\frac{2\sum a^{2}+\sum ab}{(\sum a)^{2}} \geq 2$$ (đúng theo AM-GM)

dấu bằng tại $a=b=c$




#606925 $p^2+q=37q^2+p$

Gửi bởi bvptdhv trong 03-01-2016 - 11:33

1,tìm số n có 3 chữ số sao cho tổng bình phương các chữ số của nó cộng với 4 lần tổng các chữ số của nó thì bằng n

​2,tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho p2+q=37q2+p

1/Bài toán đi tìm nghiệm nguyên của PT $\sum a^{2}+4(\sum a) =100a+10b+c$

Biến đổi thành các tổng bình phương, giải ra các nghiệm $(a;b;c)$ lần lượt $(0;0;-3);(0;0;0);(0;6;0);(1;-7;-4)$ và $(0;6;-3)$ đều là các bộ số không thỏa mãn




#606865 cm $\frac{1}{x^{2}+1}+\frac...

Gửi bởi bvptdhv trong 03-01-2016 - 07:36

Chuyển vế rồi trừ, trên tử ta có $(x-y)^{2}(xy-1)$, xét điều kiện xy ở 2 câu là ok r




#606632 $(ab+c^{2})(bc+a^{2})(ca+b^{2})\geq a...

Gửi bởi bvptdhv trong 01-01-2016 - 22:50

Sử dụng kĩ thuật ghép đối xứng, chú ý rằng
$(a+b)^{2}(c^{2}+ab)^{2}=[b(a^{2}+c^{2})+a(b^{2}+c^{2})]^{2} \geq 4ab( a^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2}) \geq ab(a+c)^{2}(b+c)^{2}$




#606626 Giải phương trình $-8x^3+39x-1=13\sqrt{13-3x^2}$

Gửi bởi bvptdhv trong 01-01-2016 - 22:38

nghiệm lượng giác là sao anh Huy

Đặt x bằng các giá trị lượng giác ấy e = ))




#606607 min $x^{2}+5x+\sqrt{x}-2013$

Gửi bởi bvptdhv trong 01-01-2016 - 21:36

Dễ thấy $f(x)=x^{2}+5x+\sqrt{x}-2013$ là hàm đồng biến trên $[0;+\infty)$, GTNN đạt tại $x=0=>min f(x)=-2013$




#606505 CMR: $\sum \frac{x}{x+yz}\leq \f...

Gửi bởi bvptdhv trong 01-01-2016 - 17:07

Dễ chứng minh $\sum \frac{x^{2}}{x+yz}=\sum \frac{x^{2}}{(x+y)(x+z)} \leq \frac{3}{4}$ (theo AM-GM)

Giả sử $x \geq y \geq z$, áp dụng Chebyshev ta có $(x+y+z)P \leq 3.\sum \frac{x^{2}}{x+yz} =>P \leq \frac{9}{4}$

Dấu bằng tại $ x=y=z=\frac{1}{3}$




#606169 CMR:$\frac{a}{b}(x^{2}+y)+\frac...

Gửi bởi bvptdhv trong 30-12-2015 - 20:15

Cho $x,y,a,b>0, x^{2}+y^{2}=2$

CMR:$\frac{a}{b}(x^{2}+y)+\frac{b}{a}(y^{2}+x) \geq 4x^{2}y^{2}$
P/s: chế tập 2 :v




#605974 CMR:$\frac{1}{x} \leq \frac{y...

Gửi bởi bvptdhv trong 29-12-2015 - 19:21

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn $x.y=1$

CMR:$\frac{1}{x} \leq \frac{y\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2\sqrt{2}x-x^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$

P/s: đề mới chế :))




#605387 Tìm phương trình đường thẳng cố định đó

Gửi bởi bvptdhv trong 26-12-2015 - 20:33

Chứng minh $y=x^{4}-3(m-2)x^{2}+3x+12m-1$ luôn cắt 1 đường thẳng cố định tại 2 điểm cố định, Tìm phương trình đường thẳng cố định đó




#604157 Giải phương trình \sqrt{x} + \sqrt{9-x} =...

Gửi bởi bvptdhv trong 20-12-2015 - 12:28

Giải phương trình (ảnh đính kèm)

Bài 1 bình phương 2 vế, đặt $\sqrt{-x^{2}+9x}=a => a^{2}-2a=0=>a=...=>x=...$
Bài 2 bình phương 2 vế giải PT bậc $2$

Bài 3 đặt $\sqrt{x+1}=a, \sqrt{x^{2}-x+1}=b,\sqrt{x+3}=c$, dễ thấy $(a-c)(b+c)=0$, đến đây dễ rồi :D