Nguyencaca789

Cho số nguyên tố p .Giả sử x,y là số tự nhiên khác 0 thỏa mãn $\frac{x^2+p.y^2}{xy}$ là số tự nhiên.  Chứng minh $\frac{x^2+p.y^2}{xy}$ = 1+p

Bài 2

a)   Tứ giác ABEG nội tiếp  (vì EBG = EAG = 45^o)

§      Mà EBA = 90^oÞ EGA = 90^o   (1)

§      Tương tự tứ giác ADFH nội tiếp Þ FHA = 90^o (2)

§      (1), (2) Þ ĐPCM

b) 

 

§      Tứ giác EFGH nội tiếp (vì G = H = 90^o)

 

§      Þ AGH = AEF (cùng bù góc HGF)

 

§      Þ D AGH, D AEF đồng dạng

 

§      Þ GH /EF = AH/ AF=AH/AH√2=√ 2 / 2(tam giác AHF vuông cân tại H)

 

c)

 

§      I là trực tâm tam giác AEF nên AK ^ EF

§      Hai tam giác vuông ABE và AKE bằng nhau (vì cạnh huyền AE chung, AEB = AGH = AEK )

 

§      Þ AK = AB= a và EB = EK Þ BK ^ AE

 

§      Þ BK // HF (vì cùng vuông góc với AE)

 

d)

 

§      Đặt CE = x, CF = y  (0 < x,y < a), ta có:

EF² = x² + y²; 

EF = KE + KF = BE + DF = (a - x) + (a - y) = 2a - x - y

Þ x + y = 2a -EF

 

§ 2(x²⁺y²)   ≥ (x+y)^2, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y.

§      Þ    2a -EF = x+y ≤căn  2(x²⁺y²) =căn 2.EF^2 = EF. căn 2

 

§      Þ       EF ≥ 2a /(1+√2)= 2a. (√2-1)

 

§      dt(DAEF) =1/2.AK . EF= 1/2 a.EF

 

§      dt(DAEF) nhỏ nhất Û EF nhỏ nhất Û EF= 2a (√2-1)

(khi CE = CF)

 

§      dt(DAEF)_min =  a^2. (√2-1)