Long Phi

Chả biết Không Huỳnh Thiên Nhất thế nào dạo này các đồ đệ dặt dẹo chết tươi tưởi liên tục làm cho bộ tư lệnh sốt cả ruột : " đưa bọn m bn tiền mà làm ăn chả ra gì " , thế là KHTN lại cứ dè môn đệ mà gây áp lực . Cứ 5 /10 thằng từng luyện công thì kêu trời đất lên vì ngu dốt không hiểu được tinh hoa của họ . 

 

Tôi cũng nói luôn chi phí luyện công ở Không Huỳnh Thiên Nhất chs dạo này hơn cả hàm mũ , nhưng đây kp chủ đề chính nên tạm bỏ qua . 

chắc các đệ tử học phải võ công Nam Hình Đạo rồi

võ đường trong truyện có phải 1 nhánh của thánh đường Không Hình Thiên Nhất uy danh chấn động võ lâm đó chăng ? Tên thánh đường là 1 sự khẳng định về sự độc bá, đứng đầu dưới gầm trời này. Còn hai chữ đầu là lấy từ bộ võ công của Độc Cô Cầu Bại, lấy vô chiêu để thắng hữu chiêu. Nhưng chăng mạng nhện là sao, chẳng nhẽ tông sư đã đi ngược với tôn chỉ của thánh đường?

Trần Minh Tiến (chemphymath) khtn được giải ba

Có $6$ điểm, $9$ cạnh, $=>$ cần phải có 5 miền để $F+V-E=2$
$2$ nhà và $3$ nguồn sống tạo thành $2$ tp liên thông a.k.a miền
$=>$ có $7$ miền , vô lý

Bài 2 ngày 2: Sau mỗi bước sẽ có 1 tập vài quyển sách ở đúng vị trí, có tất cả $2^n$ tập, ta sẽ chứng minh không có 2 bước nào có 2 tập nào giống nhau

Quy ước lấy chiều từ trái sang phải

Ta thấy 1 quyển nếu chưa ở vị trí đúng thì sau khi bị di chuyển bởi quyển khác chỉ có thể sang phải, nếu đã ở vị trí đúng rồi thì sau đó không thế về vị trí nào trước vị trí đúng  

- Giả sử có 2 bước thứ $x$ và $y (x<y)$ có tập $a_1,...a_k$ trùng nhau

+ TH1: Nếu bước thứ $y$ chuyển quyển thứ $a_k$, vị trí đúng của $a_k$ không phải ở cuối

Các quyển ở sau $a_k$ sau bước thứ $x$ không thể có vị trí đúng là trước vị trí đúng của $a_k$ nếu không sẽ có 1 quyển được đưa về vị trí đúng trước bước thứ $y$, tạo ra 1 tập khác 

Vì các quyển sau $a_k$ có vị trí đúng sau $a_k$ nên sẽ di chuyển về vị trí đúng mà không ảnh hưởng tới các quyển khác, sau đó sẽ di chuyển quyển sai vị trí gần nhất trước $a_k$, nhưng lúc này không thể thay đổi vị trí $a_k$ và các quyển sau nữa.

+ TH2: bước thứ $y$ di chuyển quyển $a_i (i \neq k)$

Khi di chuyển $a_i$ nghĩa là tất cả các quyển sau $a_i$ đã đúng vị trí và khi di chuyển $a_i$ các quyển đó không đổi vị trí, suy ra các quyển đó đúng vị trí từ bước $x$, tuy nhiên khi điều đó có nghĩa tất cả các quyển từ $a_i$ trở đi đều không bị di chuyển, nên từ bước $x$ tới bước $y$ ta chỉ có thể di chuyển các quyển trước $a_i$, mâu thuẫn với việc quyển bị di chuyển là $a_i$

Câu 4 ngày 2:

$VT = \sum \frac{1}{b^2c}.\frac{1}{1+\frac{1}{ca}}$

Ta thấy $f(x)= \frac{1}{1+x}$ là hàm lồi, áp dụng bđt Jensen ta có:

$VT \geq \sum \frac{1}{b^2c}.\frac{1}{1+ \frac{\sum \frac{1}{a^2b^2c}}{\sum \frac{1}{b^2c}}}=\sum \frac{1}{b^2c}.\frac{1}{1+\frac{3}{\sum a^2c}}\geq \sum \frac{a}{b}.\frac{1}{1+abc}$

Ta cần chứng minh $ \sum \frac{a}{b} \geq  \frac{9}{ab+bc+ac}$

Bđt trên đúng theo bđt C-S

Bài 64:

Đặt $f(1)=a$

Ta thấy $f(x+1)$ chia hết $f(x)+a$ có 2 trường hợp

- $f(x+1)=f(x)+a$

-$ 2f(x+1)\leqslant f(x)+a$

$\Rightarrow f(x+1) \leqslant f(x) -(x+1)+a$

Nếu không tồn tại x thỏa $f(x+1)=f(x)+a$

Với $x > a$ thì $f(x)>f(x+1)$ , vô lý do $f(n) \geq n$

Ta sẽ chứng minh với mọi $n$ tồn tại $x$ thỏa $f(x+n)=f(x+n-1)+a=...=f(x)+na$

Giả sử phản chứng dãy liên tục như trên có độ dài lớn nhất là $m$

$f(x+m)=f(x)+ma$

Với $x$ đủ lớn thì $f(x+m)-f(x+m+1) \geq ma$

Từ đó $f$ sẽ giảm tùy ý, vô lý

Xét $y$ bất kỳ, tồn tại $x$ lớn tùy ý sao cho 

$f(x+y)=f(x)+ay |f(x)+f(y)$

$\Rightarrow f(x+y)|f(y)-ay$

$\Rightarrow f(y)=ay$

Bài 24:Phương trình tương đương với:

$(4x+y)^{2}-5y^{2}=4n(*)$

Phương trình vô số nghiệm $<=>$ phương trình $a^{2}-5b^{2}=4n(**)$ có vô số nghiệm thỏa $a-b$ chia hết cho 4

Dãy nghiệm của (**) là

$x’ = ax  -5by$

$y’ = ay + bx$

với $a, b$ là nghiệm cơ sở của $x^{2}-5y^{2}=1$

Nếu $b$ lẻ thì VT đồng dư $3$ hoặc $5$ mod $8$ $=>$ b chẵn

Do (*) có nghiệm nên $x-y$ chia hết cho 4

$=> x'-y' \equiv a(x-y)+b(x-y) \equiv 0(mod4)$

Bài 21(IMO Shortlist 1984):Tìm $n$ thỏa $n=d_{6}^{2}+d_{7}^{2}-1$ với $d_{i}$ là ước dương thứ $i$ của $n$

Trong khi chờ bài của Ego các bạn thử sức với bài này xem

Ta hoàn toàn có thể chọn $a,b,c,d$ sao cho $(a^{2}+b^{2},c^{2}+d^{2})=1$

khi đó giả sử  $(ac+bd),(ad-bc)$cùng chí hết cho $p$

Giả sử $a^{2}+b^{2}$ chia hết cho p

$=>(ad)^{2}-(bc)^{2}$ chia hết cho $p$

$=>a^{2}(c^{2}+d^{2})-c^{2}(a^{2}+b^{2})$ chia hết cho $p$

Mà $(a,b)=1$ (có thể coi là GTQN)

$=>c^{2}+d^{2}$ chia hết cho p

$=> p=1$

Trong bài chỉ dùng tới các ước nguyên tố có dạng $4k+1$ thôi, không phải mọi ước, cái này do $p=4k+1=a^{2}+b{2}$ và $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}$ 

Bài $10$ chạy py thử thì ra $3095$ thật, Bằng xem lại code đi

Theo mình khi giải bài nên để tác giả confirm lại đáp án rồi mới post bài tiếp theo tránh trường hợp giải sai $=>$ bỏ qua bài

Lời giải bài 5:

Chọn ra 2 số thuộc $a,b$ thuộc $S$ mà $a,b$ phân biệt mà $2a\leq n< 2b$. Xét 1 cặp $(a;b)$ như thế, ta thấy rằng chỉ có 1 cấp số cộng cực đại duy nhất chứa 2 số $a$ và $b$ đó mà không chứa bất kì số nào nằm giữa 2 số đó. Tương tự, 2 cấp số cộng cực đại mà có chứa 2 số (a;b) thoả mãn  $2a< n\leq 2b$ và không chứa bất kì số nào nằm giữa 2 số đó thì sẽ trùng nhau. Vì vậy có thể thiết lập 1 song ánh giữa tập các cặp $(a;b)$ vào tập các csc cực đại. Vì vậy số các csc cực đại bằng số cách chọn cặp $(a;b)$ và sẽ bằng : $(\frac{n}{2})(\frac{n}{2})$ nếu $n$ chẵn và bằng $(\frac{n-1}{2}+1)(\frac{n-1}{2})$ nếu $n$ lẻ.

Bài 6:

Cho $n$ hòn sỏi được đặt vào $n$ điểm trên 1 hình tròn. Mỗi lần ta dịch chuyển 2 hòn sỏi , mỗi hòn sỏi được dịch chuyển vào 1 trong 2 điểm mà nằm kề với hòn sỏi đó nhưng chiều dịch chuyển của 2 hòn sỏi đó ngược nhau (có 2 hướng dịch chuyển là cùng và ngược chiều kim đồng hồ). Ta muốn dịch chuyển tất cả các hòn sỏi vào 1 điểm. CMR:

a/ Ta có thể đạt được mục đích nếu $n$ lẻ

b/ Ta không thể đạt được mục đích nếu $n$ chẵn

Trường hợp n=3 thì có 1 csc nhưng theo kq của bạn thì có 2

Không biết có phải hiểu nhầm đề không nữa

Đầu tiên đếm số các công bội, từ $1$ đến $\left \lfloor \frac{n-1}{2} \right \rfloor$

Với mỗi công bội $i$,ta đếm số điểm bắt đầu cấp số cộng, từ $1$ đến $j$ sao cho $j+2i \leqslant n$ hay $j\leqslant n-2i$ và $j\leqslant i$.

Như vậy số csc là $\sum_{1}^{\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor}i +\sum_{\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor +1}^{\left \lfloor \frac{n-1}{2} \right \rfloor}(n-2i)$