Đến nội dung

anhxtanh pro

anhxtanh pro

Đăng ký: 20-01-2015
Offline Đăng nhập: 31-01-2015 - 16:37
-----

Trong chủ đề: $\sum \frac{1}{x^2+yz} \leq \frac{x+y+z}{2xyz}...

30-01-2015 - 12:27

Cho x,y,z là 3 cạnh của tam giác, cmr:
1/(x^2+yz) +1/(y^2+xz) +1/(z^2+xy) <= (x+y+z)/(2xyz)

 ta có : $x^{2}+yz \geq 2\sqrt{x^{2}yz}=2x\sqrt{yz}=>\frac{1}{x^{2}+yz}\leq \frac{1}{2x\sqrt{yz}}=\frac{\sqrt{yz}}{2xyz}$

cmtt ta có : $\frac{1}{y^{2}+xz}\leq \frac{\sqrt{xz}}{2xyz}; \frac{1}{z^{2}+xy}\leq \frac{\sqrt{xy}}{2xyz}$

=> $\frac{1}{x^{2}+yz}+\frac{1}{y^{2}+xz}+\frac{1}{z^{2}+xy}\leq \frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{2xyz}\leq \frac{x+y+z}{2xyz}$

dấu = xảy ra <=> x=y=z


Trong chủ đề: Tìm hình dạng của tam giác ABC để $\frac{1}{GA_...

29-01-2015 - 23:19

gọi D , E , F là trung điểm BC , AC , AB .

Vì tứ giác ABA1C là tư giác nội tiếp => DA1 . AD=BD.CD => DA1=$\frac{BD^{2}}{AD}=\frac{BC^{2}}{4AD}$

=>GA1=GD+DA1 = $\frac{1}{3}AD+\frac{BC^{2}}{4AD}\geq \frac{BC}{2\sqrt{3}}$

=> $\frac{1}{GA1}\leq \frac{2\sqrt{3}}{BC}$

cmtt : $\frac{1}{GB1}\leq \frac{2\sqrt{3}}{AC};\frac{1}{GC1}\leq \frac{2\sqrt{3}}{AB}$

=> $\frac{1}{GA1}+\frac{1}{GB1}+\frac{1}{GC1}\leq 2\sqrt{3}(\frac{1}{AB}+\frac{1}{BC}+\frac{1}{AC})$

dấu = xảy ra <=> ABC là tam giác đều


Trong chủ đề: $(1 + \frac{a}{b})^{3} +(1 + \frac{b}{a})^{3} > 8$

29-01-2015 - 22:49

áp dụng bđt phụ : $x^{3}+y^{3}\geq \frac{(x+y)^{3}}{4}$ ta có :

$(1+\frac{a}{b})^{3}+(1+\frac{b}{a})^{3}\geq \frac{(1+\frac{a}{b}+1+\frac{b}{a})^{3}}{4}\geq \frac{4^{3}}{4}=16>8$ (dpcm)


Trong chủ đề: chứng minh khi A di động thì tâm đường tròn nội tiếp $\bigtrian...

29-01-2015 - 21:19

Cho (O;R) và 1 dây BC cố định. điểm A di động trên cung BC lớn. phân giác $\widehat{BAC}$ cắt (O) ở M.kẻ đường cao AH

a, chứng minh khi A di động thì tâm đường tròn nội tiếp $\bigtriangleup ABC$ chuyển động trên 1 đường cố định

b, xác định vị trí của A để phần diện tích nằm ngoài $\bigtriangleup ABC$ lớn nhắt.Tính giá trị LN đó theo R

a,Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ , ta có :

 $\widehat{BIC}=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\widehat{ABC}+\widehat{ACB})=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\widehat{BAC})=90^{\circ}+\frac{1}{2}\widehat{BAC}$.

 vì ABCM là tứ giác nội tiếp nên : $\widehat{BMC}=180^{\circ}-\widehat{BAC}$

gọi T là 1 điểm bất kì thuộc đường tròn tâm M, bán kính MB.

vì AM là phân giác $\widehat{BAC} => \widehat{BAM}=\widehat{MAC}=> BM=CM$ =>  C thuộc (M;MB)

Ta có : $\widehat{BTC}=\frac{1}{2}\widehat{BMC}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\widehat{BAC})=90^{\circ}-\frac{1}{2}\widehat{BAC}$

=> $\widehat{BIC}+\widehat{BTC}=90^{\circ}+\frac{1}{2}\widehat{BAC}+90^{\circ}-\frac{1}{2}\widehat{BAC}=180^{\circ}$

=> BICT là tứ giác nội tiếp => I thuộc (M;MB) cố định


Trong chủ đề: CMR $\sum \frac{1}{1+a+b}\leq...

27-01-2015 - 21:59

đặt $a= x^{3} , b= y^{3} , c= z^{3}$

ta cần chứng minh : $\frac{1}{1+x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{1+x^{3}+z^{3}}\leq \frac{3}{1+2xyz}$

ta có : $x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)\geq xy.2\sqrt{xy}$

=> $\frac{1}{1+x^{3}+y^{3}}\leq \frac{1}{2xy.\sqrt{xy}+1}$

cmtt : $\frac{1}{1+y^{3}+z^{3}}\leq \frac{1}{2yz\sqrt{yz}+1} , \frac{1}{1+z^{3}+x^{3}}\leq \frac{1}{2xz\sqrt{xz}+1}$

=> $\frac{1}{1+x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}+x^{3}}\leq \frac{1}{1+2xy\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+2yz\sqrt{yz}}+\frac{1}{1+2xz\sqrt{xz}}$ (1)

áp dụng bài toán phụ : $\frac{1}{1+x^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}}\leq \frac{3}{1+xyz}$ với x,y,z<1 ta có :

$\frac{1}{1+2xy\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+2yz\sqrt {yz}}+\frac{1}{1+2xz\sqrt{xz}}\leq \frac{3}{1+2xyz}$ (2)

từ (1) và (2) ta có đpcm