anhxtanh pro

Cho x,y,z là 3 cạnh của tam giác, cmr:
1/(x^2+yz) +1/(y^2+xz) +1/(z^2+xy) <= (x+y+z)/(2xyz)

 ta có : $x^{2}+yz \geq 2\sqrt{x^{2}yz}=2x\sqrt{yz}=>\frac{1}{x^{2}+yz}\leq \frac{1}{2x\sqrt{yz}}=\frac{\sqrt{yz}}{2xyz}$

cmtt ta có : $\frac{1}{y^{2}+xz}\leq \frac{\sqrt{xz}}{2xyz}; \frac{1}{z^{2}+xy}\leq \frac{\sqrt{xy}}{2xyz}$

=> $\frac{1}{x^{2}+yz}+\frac{1}{y^{2}+xz}+\frac{1}{z^{2}+xy}\leq \frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{2xyz}\leq \frac{x+y+z}{2xyz}$

dấu = xảy ra <=> x=y=z

Cho (O;R) và 1 dây BC cố định. điểm A di động trên cung BC lớn. phân giác $\widehat{BAC}$ cắt (O) ở M.kẻ đường cao AH

a, chứng minh khi A di động thì tâm đường tròn nội tiếp $\bigtriangleup ABC$ chuyển động trên 1 đường cố định

b, xác định vị trí của A để phần diện tích nằm ngoài $\bigtriangleup ABC$ lớn nhắt.Tính giá trị LN đó theo R

a,Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ , ta có :

 $\widehat{BIC}=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\widehat{ABC}+\widehat{ACB})=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\widehat{BAC})=90^{\circ}+\frac{1}{2}\widehat{BAC}$.

 vì ABCM là tứ giác nội tiếp nên : $\widehat{BMC}=180^{\circ}-\widehat{BAC}$

gọi T là 1 điểm bất kì thuộc đường tròn tâm M, bán kính MB.

vì AM là phân giác $\widehat{BAC} => \widehat{BAM}=\widehat{MAC}=> BM=CM$ =>  C thuộc (M;MB)

Ta có : $\widehat{BTC}=\frac{1}{2}\widehat{BMC}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\widehat{BAC})=90^{\circ}-\frac{1}{2}\widehat{BAC}$

=> $\widehat{BIC}+\widehat{BTC}=90^{\circ}+\frac{1}{2}\widehat{BAC}+90^{\circ}-\frac{1}{2}\widehat{BAC}=180^{\circ}$

=> BICT là tứ giác nội tiếp => I thuộc (M;MB) cố định

đặt $a= x^{3} , b= y^{3} , c= z^{3}$

ta cần chứng minh : $\frac{1}{1+x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{1+x^{3}+z^{3}}\leq \frac{3}{1+2xyz}$

ta có : $x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)\geq xy.2\sqrt{xy}$

=> $\frac{1}{1+x^{3}+y^{3}}\leq \frac{1}{2xy.\sqrt{xy}+1}$

cmtt : $\frac{1}{1+y^{3}+z^{3}}\leq \frac{1}{2yz\sqrt{yz}+1} , \frac{1}{1+z^{3}+x^{3}}\leq \frac{1}{2xz\sqrt{xz}+1}$

=> $\frac{1}{1+x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}+x^{3}}\leq \frac{1}{1+2xy\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+2yz\sqrt{yz}}+\frac{1}{1+2xz\sqrt{xz}}$ (1)

áp dụng bài toán phụ : $\frac{1}{1+x^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}}\leq \frac{3}{1+xyz}$ với x,y,z<1 ta có :

$\frac{1}{1+2xy\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+2yz\sqrt {yz}}+\frac{1}{1+2xz\sqrt{xz}}\leq \frac{3}{1+2xyz}$ (2)

từ (1) và (2) ta có đpcm

Nhờ bạn giải cho mình theo cách diện tích

ta có : $\frac{SACD}{SABC}= \frac{bd.sin45}{ab}= \frac{d}{\sqrt{2}a}$

và $\frac{SADC}{SABC}= 1-\frac{SABD}{SABC}= 1-\frac{d}{\sqrt{2}b}$

nên $1-\frac{d}{\sqrt{2}b}=\frac{d}{\sqrt{2}a}$

thu gọn ta được dpcm

Cho tam giác ABC vuông ở A có AB=a, AC=b. Đường phân giác trong AD sao cho AD=d. CM: 

  $$\sqrt{2}$$ /d = $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

hạ DH vuông góc với AC. ta có DH=AH=$\frac{d}{\sqrt{2}}$ nên CH=$b-\frac{d}{\sqrt{2}}$ .

vì DH//AB nên $\frac{DH}{AB}= \frac{CH}{AC}$

thay vào rút gọn ta được dpcm

Cho x, y thỏa mãn $x+y=1$ . tìm GTNN $\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}$

P/s : bài này mình nghĩ là đề sai, phải tìm GTLN mới đúng

thay 1=$thay 1=(x+y)^{3}ta có : \frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}= \frac{(x+y)^{3}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{(x+y)^{3}}{xy}= 1+\frac{3xy}{x^{3}+y^{3}}+ 3 + \frac{x\^{3}+y^{3}}{xy} . sau đó áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2 số và tìm dau bang$