hoctrocuaHolmes

 

 ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN                                            ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

   THPT KHOA HỌC TỰ NHIÊN                                                 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016

                                                                                                               Môn:Toán (Vòng 1)

                                                                                     Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

$\boxed{\textrm{ĐỀ THI CHÍNH THỨC}}$


Câu 2 (2,5 điểm)

1)Tìm tât cả các giá trị của tham số $m$ sao cho tồn tại cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} 2+mxy^2=3m & & \\ 2+m(x^2+y^2)=6m & & \end{matrix}\right.$$

2)Với $x,y$ là những số thực thỏa mãn các điều kiện $0<x\leq y\leq 2,2x+y\geq 2xy$ , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$P=x^2\left ( x^2+1 \right )+y^2\left ( y^2+1 \right )$$
 

1)Nếu $m=0$ thì hiển nhiên hệ vô nghiệm

Xét $m$ khác $0$

Trừ vế theo vế của 2 phương trình ta có $m(x^2+y^2-xy^2)=3m\Rightarrow x^2+y^2-xy^2=3\Leftrightarrow x^2-1-y^2(x-1)=2\Leftrightarrow (x-1)(x+1-y^2)=2$

Triển phương pháp xét ước là ok

Xét dãy 10 số $1,2,...,9,10$

Suy ra $a \leq 1+2+...+10=55 $

Ta chứng minh $a=55$ là số đẹp lớn nhất

Thật vậy, ta xét dãy $a_1,a_2,...,a_9,a_{10} $ bất kì 

Khi đó, ta có $a_1+a_2+...+a_9+a_{10} \geq 1+2+...+10 =55=a $

Do đó $a=55$

Lời giải của bạn mình thấy không ổn lắm,đoạn tô đỏ không rõ ràng.

p.s:Không biết có xác thực hay không nhưng nghe phong phanh là đáp số bằng $505$ còn lời giải thì ...mình chưa giải được =))

 

 ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN                                            ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

   THPT KHOA HỌC TỰ NHIÊN                                                 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016

                                                                                                               Môn:Toán (Vòng 1)

                                                                                     Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

$\boxed{\textrm{ĐỀ THI CHÍNH THỨC}}$


Câu 2 (2,5 điểm)

1)Tìm tât cả các giá trị của tham số $m$ sao cho tồn tại cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} 2+mxy^2=3m & & \\ 2+m(x^2+y^2)=6m & & \end{matrix}\right.$$

2)Với $x,y$ là những số thực thỏa mãn các điều kiện $0<x\leq y\leq 2,2x+y\geq 2xy$ , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$P=x^2\left ( x^2+1 \right )+y^2\left ( y^2+1 \right )$$

Câu 3 (3 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB<AC$. Phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt $BC$ tại $D$ và cắt $(O)$ tại $E$ khác $A$ . $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AD$.Đường thẳng $BM$ cắt $(O)$ tại $P$ khác $B$ . Giả sử các đường thẳng $EP$ và $AC$ cắt nhau tại $N$

1)Chứng minh rằng:$APNM$ nội tiếp và $N$ là trung điểm của $AC$

2)Giả sử đường tròn $(K)$ ngoại tiếp tam giác $EMN$ cắt đường thẳng $AC$ tại $Q$ khác $N$ . Chứng minh rằng: $B$ và $Q$ đối xứng qua $AE$

3)Giả sử $(K)$ cắt đường thẳng $BM$ tại $R$ khác $M$ . Chứng minh rằng:$RA\perp RC$

Chém câu hình

1)$AE$ là phân giác góc $BAC$ nên $E$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$

$\Rightarrow \widehat{BPE}=\widehat{CAE}\Rightarrow APMN nt$

$\Rightarrow \widehat{BCA}=\widehat{MPA}=\widehat{MNA}\Rightarrow MN//BC\Rightarrow N$ là trung điểm $AC$ (do $M$ là trung điểm $AD$

2)Gọi $K'$ là giao điểm của $BQ$ và $AE$

Tứ giác $MNQE$ nội tiếp nên $\widehat{EQC}=\widehat{EMN}=\widehat{EPA}=\widehat{QCE}\Rightarrow EQ=EC=EB$

Mặt khác $\widehat{BEK'}=\widehat{BCA}=\widehat{MNA}=\widehat{AEQ}\Rightarrow \Delta K'EB=\Delta K'EQ(c.g.c)\Rightarrow B,Q$ đối xứng qua $AE$

3)Chứng minh tương tự (2) suy ra $R,C$ đối xứng nhau qua $PE$

suy ra $NR=NC$ mà $N$ là trung điểm $AC$ nên $NR=NC=NA$ suy ra tam giác $ARC$ vuông tại $R$ suy ra đpcm

Chưa chặt bạn ạ, bạn giải sử $B,C,E$ là không được rồi, vì nó phụ thuộc hình vẽ. Trường hợp này sẽ khác trường hợp kia.

Bài này em cũng nghĩ là em giải nó không chuẩn lắm .Em sửa thế này ạ:

Em nghĩ là vai trò của cặp điểm $E$ và $H$;$G$ và $F$ là giống nhau nên sẽ tương tự

Nếu là $B,C,F$ thì lập luận tương tự cũng ra $H,A$ phải màu vàng suy ra $G$ màu đỏ từ đó có $E$ màu vàng.Gọi trung điểm $T$ của $GF$ nữa là bài toán được giải quyết

Đó là trường hợp có 2 đỉnh kề nhau,nếu như 2 đỉnh liên tiếp không cùng 1 màu

Xét điểm $B$ thì chỉ có các điểm $D,F,H$ sẽ cùng màu với $B$ 

Khi đó thì nhận thấy từng trường hợp điểm ta đều có tam giác thỏa mãn đề bài

Nếu em thêm lời giải vào như vậy đã ổn chưa ạ? 

Tuần sau em thi mà giờ vẫn chưa ôn văn được mấy,toán với anh thì đã max gà rồi chắc xác định quá

Có bạn nào ở Bình Dương không,xem đề tốt nghiệp Tiếng anh của Bình Dương thấy kinh quá 

Ps:Chia sẻ vậy thui chứ giờ phải off để ôn văn nữa .....

 

ĐỀ THI TUYỂN SINH

VÀO KHỐI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN ĐH SƯ PHẠM 2016-2017

Môn thi: Toán học

(Dùng cho  thí sinh thi vào Chuyên Toán và Chuyên Tin)

Thời gian làm bài:150 phút

 

 

Câu 3 (2,0 điểm) Cho $S$ là tập hợp các số nguyên dương $n$ có dạng $n=x^2+3y^2$ trong đó $x,y$ là các số nguyên dương.Chứng minh rằng:

 

a)Nếu $a,b \in S$ thì $ab \in S$

 

b)Nếu $N \in S$ và $N$ chẵn thì $N$ chia hết cho $4$ và $\frac{N}{4} \in S$

 

 

Câu 5 (1,0 điểm) Giả sử mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu : xanh,đỏ,vàng . Chứng minh rằng tồn tại ba điểm cùng màu là ba đỉnh của một tam giác cân

 

HẾT

 

Câu 3:1 bài toán của thầy Nam Dũng,đã được thảo luận tại đây

Câu 5:Chém câu tổ không biết đã chuẩn chưa 

Xét bát giác đều $ABCDEFGH$

Xét theo 1 điểm bất kì nối 7  điểm còn lại,theo Dirichlet tồn tại 3 điểm có cùng màu.

Không mất tính tổng quát giả sử 3 điểm đó cùng màu đỏ.

Giả sử điểm đang xét là $A$ và 3 điểm màu đỏ là $B,C,E$,nếu $D$ màu đỏ ta có đpcm,giả sử $D$ màu xanh.

Gọi $O$ là tâm của bát giác nếu $O$ có màu đỏ ta có đpcm

Nếu $O$ màu xanh

+1 trong 4 điểm $A,H,G,F$ có màu xanh ta có đpcm

+Áp dụng định lý Dirichlet,tồn tại ít nhất 3 điểm có cùng màu đỏ hoặc vàng.

Giả sử $G,A$ màu đỏ thì tam giác $GEC,ABC$ là tam giác cần tìm

+Nếu $A,G$ màu vàng thì $H$ màu vàng ta có đpcm

+Nếu $H$ màu đỏ,gọi $I,J,K$ lần lượt là trung điểm của $FE,CD,AB$

+Khi đó $J,I$ màu vàng (nếu $J,I$ màu đỏ thì tam giác $BJE,IHC$ là tam giác cần tìm)

+Nếu $K$ màu đỏ thì tam giác $KAF$ là tam giác cần tìm

+Nếu $K$ màu vàng thì tam giác $KJI$ là tam giác cần tìm

Trường hơp $O$ màu vàng tương tự

Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ sao cho $\frac{x^{2}y^{2}z^{2}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ là một số nguyên tố.

x, y, z$\geqslant 0$ thỏa mãn: $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$. Tìm Min:

$\frac{x^{3}}{3y+1}+\frac{y^{3}}{3z+1}+\frac{z^{3}}{3x+1}$

Phức tạp quá cậu ạ 

Cách làm của em có vẻ không đúng lắm vì việc $P<2$ không phải điều kiện để $S_n$ nhỏ hơn 5 vì không phải $n$ càng nhỏ thì $S_n$ càng nhỏ.

Em nghĩ là khi $P<2$ mà $P$ là số tự nhiên thì $P=0$ hoặc $P=1$ thì khi thay vào cái $2003.\overline{P7}$ và những cái tương tự thì khi tính $S(n)$ luôn có $S(n)>5$

P/s:Em cũng thấy lời giải của em nó có phần gượng gạo,anh có ý tưởng hay lời giải nào tốt hơn thì cho tụi em xem với ạ

Dựa vào lời giải thú vị của bạn doremon01 mình nghĩ lời giải đó hoàn toàn đúng với bài toán tổng quát:

Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $\frac{x^{n}y^{n}}{x^{n}+y^{n}}$ là một số nguyên tố. ($n$ nguyên dương)

Thêm nữa mong mọi người hãy góp lời giải ở bài toán sau:

Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ sao cho $\frac{x^{2}y^{2}z^{2}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ là một số nguyên tố.

($n$ nguyên dương)

Sao lại có chỗ này???

Vì $S(n)<5$ và $n$ là số nguyên dương đồng thời là bội của $2003$ nên $S(n)\epsilon \left [ 1;4 \right ]$

Mặt khác không tồn tại số nguyên dương nào có tổng các chữ số là 1 mà lại chia hết cho 2003 !

Vậy $S(n)\epsilon \left [ 2;4 \right ]$ 

Để mình chỉnh đoạn đó,có gì góp ý tiếp nhé  

Sr vì không biết up hình nên lời giải không được chi tiết lắm:

Đầu tiên là xét đường chéo chính của bảng, đánh số các cột từ $1$ đến $2017$ từ trái sang phải. Gọi $A$ là tập các ô là giao của đường chéo chính với các cột lẻ, $B$ là tập các ô là giao của đường chéo chính với các cột chẵn ( Cột lẻ là các cột được đánh số lẻ, cột chẵn là cột được đánh số chẵn). Gọi $f(A)$ là tổng các số được viết trên các ô thuộc tập $A$, $f(B)$ là tổng các số được viết trên các ô thuộc tập $B$. Từ chỗ này có thể lập luận logic hoặc chứng minh bằng quy nạp rằng tổng các số trên bảng chính bằng $f(A)-f(B)$. Vì các số trên bảng thuộc khoảng $\left [ -10;10 \right ]$ nên $f(A)\geq -10\left | A \right |$, $f(B)\leq 10\left | B \right |$, vì vậy tổng các số trên bảng nhỏ nhất bằng $f(A)-f(B)\geq -10(\left | A \right |+\left | B \right |)=-20170$. Vậy giá trị nhỏ nhất là -20170, chẳng hạn khi tất cả các cột lẻ đều các các ô được viết số -10, các ô còn lại viết số 10

Nhờ bạn chứng minh giúp mình khúc đó được không?

Xét tất cả các số nguyên dương thỏa mản $n$ là bội của 2003, tìm giá trị bé nhất có thể có của $S(n)$

( với $S(n)$ là tổng các chữ số của n) 

Spoiler

Lời giải chỉ mang tính chất nêu ý tưởng,lập luận có phần hơi lủng củng mong các bạn sửa và góp ý giúp mình

Vì số nguyên dương $n$ là bội của $2003$ nên $n$ nhỏ nhất là 2003 có tổng các chữ số là $5$

Ta sẽ chứng minh $MinS_{n}=5$.Thật vậy,giả sử tồn tại $S(n)<5$

Vì $S(n)<5$ và $n$ là số nguyên dương đồng thời là bội của $2003$ nên $S(n)\epsilon \left [ 1;4 \right ]$

Mặt khác không tồn tại số nguyên dương nào có tổng các chữ số là 1 mà lại chia hết cho 2003 

Vậy $S(n)\epsilon \left [ 2;4 \right ]$ 

Suy ra chữ số tận cùng của bội 2003 lần lượt là $1,2,3$

+Nếu bội của 2003 có tận cùng là $1$ thì tồn tại 1 số $\overline{P7}$ sao cho $2003.\overline{P7}$ có $S(n)<5$.

$2003.\overline{P7}=20030.P+2003.7\Rightarrow P<2$.Thử các giá trị thì nhận thấy $S(n)$ trong trường hợp này luôn lớn hơn $5$ ($P$ là số tự nhiên)

+Nếu bội của 2003 có tận cùng là $2$ thì tồn tại 1 số $\overline{P4}$ sao cho $2003.\overline{P4}$ có $S(n)<5$.

$2003.\overline{P4}=20030.P+2003.4\Rightarrow P< 2$.Thử các giá trị thì nhận thấy $S(n)$ trong trường hợp này luôn lớn hơn $5$ ($P$ là số tự nhiên)

+Nếu bội của 2003 có tận cùng là $3$ thì tồn tại 1 số $\overline{P1}$ sao cho $2003.\overline{P1}$ có $S(n)<5$.

$2003.\overline{P1}=20030.P+2003.1\Rightarrow P<2$.Thử các giá trị thì nhận thấy $S(n)$ trong trường hợp này luôn lớn hơn $5$ ($P$ nguyên dương)

Vậy $MinS_{n}=5$ khi $n=2003$

Cho bảng ô vuông $2017×2017$ ta điền một số thực bất kì thuộc đoạn $[-10,10]$ sao cho tổng $4$ số trong hình vuông con $2×2$ bất kì bằng $0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các số trên bảng.

Tìm số nguyên dương $x,y$ sao cho các số $x^2+ky;y^2+kx$ đều là các số chính phương($k$ là số nguyên dương)

Mặc dù bài này chắc từ thuở nào rồi nhưng xin đào lại

Bài này chị chưa tìm ra cách giải tổng quát nhưng xin nêu hướng giải dạng này

Giả sử $x>y$.Xét:

TH1:$k=2m$( $m$ nguyên dương)

$x^2<x^2+2my=a^2<x^2+2mx<x^2+2mx+m^2=(x+m)^2$.Vì $m$ là số cho trước nên xét các giá trị $m=\overline{1,m-1}$ là được

TH2:$k=2m+1$( $m$ nguyên dương)

$x^{2}< x^2+(2m+1)x=a^2< x^2+(2m+2)x+(m+1)^{2}=(x+m+1)^{2}$ Vì $m$ là số cho trước nên xét các giá trị $m=\overline{1,m}$ là được (nhiều quá )

Cách 1: Ta có $P(x^2-2) = a(x^2-2)^2 + b(x^2-2) + c = ax^4 +(b-4a)x^2 +4a-2b+c$

                       $P(x^2) -2 = ax^4 + bx^2 +c -2 $

Mà $P(x^2-2) = P(x^2)-2 => b-4a=b => a=0 $ vô lý

Vậy không có $P(x)$ thỏa

 

Cách 2: Ta có $P(-1)=P(1) -2 $

         $a-b+c = a+b+c -2<=>b=1 $

Do đó $P(-x) = ax^2 - bx + c $ khác $P(x) $

Do đó đề sai

Bài này mình lấy từ 1 đề thi giải mãi thấy không ra nên đưa lên nhờ mọi người sửa lại đề cho đúng Bạn sửa đề giúp mình được không?

Spoiler

Bạn xem lại lời giải của bạn chứ mình thấy tính toán mấy chỗ bị sai đấy