hoctrocuaHolmes

Tìm  $x;y \in Z$ sao cho 

 

$8x^3=3^y+997$

Nếu $y \leq 0$ thì $PT$ không có nghiệm nguyên

Do đó $y \geq 1$

Với $y=1$ thì $x=5$ (thỏa)

Với $y \geq 2$

+$y=2k$ thì $VP=3^{2k}+997=9^{k}+997\equiv 1-3=-2(mod 8)$ mà $VT\equiv 0(mod 8)$ nên PT vô nghiệm nguyên

+$y=2k+1$ thì $VP=3^{2k+1}+997\equiv 7(mod 9)$ 

Mặt khác $x^{3}\equiv 0;\pm 1(mod 9)\Rightarrow 8x^{3}\equiv 0,8,1(mod 9)\Rightarrow VT\neq VP$ nên PT vô nghiệm nguyên

Vậy $(x,y)=(5,1)$

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=k$ ($k$ là số cho trước).Tìm Max,Min của:

$A=ab+bc+2ca$

$B=2ab-bc-ca$

$C=ab-2bc-ca$

                 KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ

                           Năm 2015-2016

Bài 5: (1 điểm) Cho bảng ô vuông kích thước 10.10 gồm 100 ô vuông kích thước 1.1. Điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số được điền ở hai ô vuông chung cạnh hoặc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau.  CMR trong bảng ô vuông đã cho có một số xuất hiện ít nhất 17 lần

Xét hình vuông cạnh $2\times 2$,do hình vuông này có mỗi hình vuông nhỏ luôn chung cạnh hoặc chung đỉnh nên tồn tại nhiều nhất 1 số chẵn,nhiều nhất 1 số chia hết cho 3 do đó có ít nhất 2 số lẻ không chia hết cho 3.

Bảng $10\times10$ được chia thành 25 hình vuông có cạnh $2\times 2$ nên có ít nhất 50 số lẻ không chia hết cho 3.

Từ 1-10 có 3 số lẻ không chia hết cho 3 là $1,5,7$,áp dụng nguyên lí Dirichlet,1 trong 3 số trên xuất hiện ít nhất $\left \lfloor \frac{50}{3} \right \rfloor+1=17$ lần

Ý anh ấy là tích $2$ số khác màu chứ không phải khác nhau!

Chị làm bài này theo đề gốc là như sau,em có thể xem lại Đề thi thử Ams ,chị nghĩ là anh Ego ghi sai đề vì thực sự nếu để đề gốc như thế thì chị cảm thấy hơi khó hiểu  .Chị cũng đã sửa lại đề cho chuẩn với đề thi thử vừa nói.

Đề ở trên đúng rồi Cách làm của HappyLife sai ở phân thức $\frac{ca(c-a)}{c^2+a^2-ca} \geqslant c-a$ do $c-a \leqslant 0$

 

Biến đổi thuần Đại Số ,ta sẽ có BĐT tương đương với:

$$\sum \frac{ab(a-b)}{a^{3}+b^{3}}\geqslant 0\Leftrightarrow \frac{a(a-b)(b-c)(a^{2}-bc)}{(a^{2}-ab+b^{2})(c^{2}+a^{2}-ca)}+\frac{c(b-c)(a-b)(ab-c^{2})}{(b^{2}+c^{2}-bc)(c^{2}+a^{2}-ac)}\geqslant 0$$

 

BĐT trên luôn đúng do $a \geqslant b \geqslant c$.

Quả đúng là em hơi hấp tấp,không để ý đến cái điều kiện,xấu hổ ghê 

Anh fix lại chỗ màu đỏ đi ạ,phải là $a^2-ab+b^2$ .

Cho em hỏi thêm làm sao anh phân tích được 2 tổng chuẩn như vậy ạ,em quy đồng lên thì ra được $\frac{(a-b)(a-c)(b-c)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{\prod (a^2-ab+b^2)}\geq 0$ cũng đúng cơ mà hơi tốn sức

Giả sử các số tự nhiên được tô bởi hai màu xanh hoặc đỏ (mỗi số chỉ được tô một màu) sao cho tích hai số khác màu thì có màu đỏ, còn tổng của chúng thì tô màu xanh. Hỏi số $1$ được tô màu gì?

Nguồn: Đề thi thử Ams

Mình rất thích mấy bài như này ^.^

Giả sử số $1$ được tô màu đỏ,khi đó vì tích của $2$ số khác nhau là màu đỏ nên với mọi số tự nhiên $k$ thì $k$ luôn là màu đỏ,tương tự $k-1$ cũng được tô màu đỏ.

Mặt khác tổng của 2 số đó là màu xanh nên $1+k-1=k$ là màu xanh (mâu thuẫn với cm trên)

Vậy số $1$ phải được tô màu xanh 

Cho $a \geq b \geq c > 0$.Chứng minh rằng

$\frac{a^3b}{a^3+b^3} + \frac{b^3c}{b^3+c^3} + \frac{c^3a}{c^3+a^3} \geq \frac{ab^3}{a^3+b^3} + \frac{bc^3}{a^3+b^3} + \frac{ca^3}{c^3+a^3}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{ab(a^2-b^2)}{a^{3}+b^3}\geq 0\Leftrightarrow\sum \frac{ab(a-b)}{a^{2}-ab+b^2}\leq \sum \frac{ab(a-b)}{ab}=a-b+b-c+c-a=0$

Đề có sai không nhỉ ? hay là mình sai ?

Cho phương trình $x^3-ax^2+bx-a=0$ có 3 nghiệm thực dương.Tìm $a,b$ để biểu thức $P=\frac{b^{2016}-3^{2016 }}{a^{2016}}$ đạt GTNN và tìm GTNN đó

Cho $8$ số dương $a,b,c,d,x,y,z,t$ thỏa mãn điều kiện : $ax+by+cz+dt=xyzt$ . Chứng minh 
$x+y+z+t>\frac{4}{3}.(\sqrt{1+3\sqrt{a+b}+3\sqrt{a+c}+3.\sqrt{b+c}+3\sqrt{b+d}+3\sqrt{c+d}}-1)$ 

Tớ nhớ 1 bài trên báo TTT2 có bất đẳng thức chặt hơn như sau:Cho $8$ số dương $a,b,c,d,x,y,z,t$ thỏa mãn điều kiện : $ax+by+cz+dt=xyzt$ . Chứng minh 

$x+y+z+t > \frac{4}{3}.(\sqrt{1+3\sqrt{a+b}+3\sqrt{a+c}+3.\sqrt{b+c}+3\sqrt{b+d}+3\sqrt{c+d}})$ 

Cách chứng minh của báo nhìn hơi ''kinh dị'' ,đặt ẩn mấy lần luôn  

Cách của NTA1907 hay hơn nhiều   

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

$4(x^3+y^3)=x^2+6xy+y^2$

Áp dụng AM-GM ta có $x^{2}+y^2+6xy\leq x^2+y^2+3(x^2+y^2)=4(x^2+y^2)\Rightarrow x^{3}+y^3\leq x^{2}+y^2$

Mặt khác $x,y$ nguyên dương nên $x^{3}\geq x^{2};y^3\geq y^{2}\Rightarrow x^3+y^3\geq x^2+y^2$

Do đó $x=y=1$ là nghiệm của pt

PIC  sẽ là nơi cập nhật những bài toán nghiệm nguyên hay dành cho học sinh THCS . 
Lưu ý : nếu đề không nói gì thì sẽ là giải phương trình nghiệm nguyên. 
Kí hiệu dg là giải phương trình nghiệm nguyên dương 
7) $x^4-2y^2=1$ 
8) $x^2+y^2=7z^2$ 
9) $x^2-y^3=7$ 
10) $m^2n+6mn+9n=32$ (dg)
12 ) $x^2+y^2=z^2$ 
13) $x^7+y^7=7z$ 

7)Phương trình Pell loại 1

8)Bài này có thể mở rộng lên nghiệm hữu tỉ

Từ phương trình trên suy ra $x,y\vdots 7$

Đặt $x=7x_{1};y=7y_{1}\Rightarrow x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=7z_{1}^{2}$.Quá trình tiếp tục đến $x_{n},y_{n},z_{n}\vdots 7\Rightarrow x,y,z\vdots 7^{n}\Rightarrow x=y=z=0$

9)Từ phương trình trên dễ có $x$ lẻ (cm bằng cách xét module 8)

$PT\Leftrightarrow y^{2}+1=(x+2)(x^2-2x+4)$

Nếu $x\equiv 3(mod 4)$ ($k$ nguyên dương) thì $y^{2}+1\equiv (3+2)(3^2-2.3+4)=35\equiv -1(mod 4)\Rightarrow y^{2}\equiv 2(mod 4)(VL)$

Do đó $x\equiv 1(mod 4)$$\Rightarrow x+2\equiv 3(mod 4)$ suy ra $x+2$ có ước nguyên tố là $4n+3$ $\Rightarrow 1\vdots 4n+3\rightarrow VL\rightarrow PTVNNN$

Spoiler

Đây là phương trình Lebesgue với $k=-7$   

10)$PT\Leftrightarrow n(m+3)^{2}=32$

12)Phương trình Pythagores

Bài 353:Giải phương trình:$\sqrt[5]{x-1}+\sqrt[3]{x+8}=x^3+1$

1/ Chứng minh phương trình sau vô nghiệm với moi x,y nguyên dương: $4x^3+(x+1)^2=y^2$
2/ Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $x^4=y^{2}(y-x^{2})$

2.$x^4=y^{2}(y-x^{2})\Leftrightarrow x^2(x^2+y^2)=y^3\Rightarrow y^{3}\vdots x^{2}\Rightarrow y\vdots x\Rightarrow y=xk(k\epsilon N*)\Rightarrow x^{2}(x^2+x^2k^2)=x^3k^3\Leftrightarrow x(k^2+1)=k^3\Rightarrow k^{3}\vdots (k^2+1)\Rightarrow k(k^2+1)-k\vdots k^2+1\Rightarrow k\vdots (k^2+1)\Rightarrow k^{2}\vdots k^{2}+1\Rightarrow k^2+1-1\vdots (k^2+1)\Rightarrow 1\vdots (k^2+1)\Rightarrow k^{2}+1=1\Rightarrow k=0\Rightarrow y=0(VL do y\epsilon N*)$

Vậy pt không có nghiệm nguyên dương

Haizz trình chụp của chú non kém quá ,nhòe hết cả.Nếu muốn xoay ảnh thì cũng đơn giản,chỉ việc tải ảnh lên,xoay và lưu lại là được.

Câu 2:a)Nhận thấy $x=0$ không là nghiệm,xét $x$ khác $0$

$PT\Leftrightarrow (\frac{x^{2}+7x+6}{x}).(\frac{x^{2}-5x+6}{x})=45\Leftrightarrow (x+\frac{6}{x}+7)(x+\frac{6}{x}-5)=4\rightarrow x+\frac{6}{x}=t,(t+7)(t-5)=45$,đến đây dễ

b)$(x^2+1)(x+1)=2^{2y}$

+Nếu $y<0$ thì pt không có nghiệm nguyên

+Nếu $y=0$ thì $x=0$

+Nếu $y>0$ thì $\begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x^2+1=2^{2y-k} & \\ x+1=2^{k} & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x^2+1=2^{k} & \\ x+1=2^{2y-k} & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$

Th1:$x^2+1=2^{2y-k}$

+Nếu $2y-k=0$ thì $x=0$ suy ra $y=0$

+Nếu $2y-k<0$ thì PT vô nghiệm nguyên

+Nếu $2y-k=1$ thì $x=1$ từ đó suy ra $y$($x=-1$ thì PT ban đầu vô nghiệm nguyên)

+Nếu $2y-k >1$,ta có $VP$ chia hết cho $4$ còn $VT\equiv 1,2(mod 4)$ nên PT vô nghiệm

Th2:$x^2+1=2^k$

Tương tự Th1

Câu 5:Bất đẳng thức cần cm tương đương :$(x+2y+z)\geq (x+y)(y+z)(z+x)$

Đặt $x+y=a;y+z=b;z+x=c$ thì ta cần cm:$a+b\geq abc$

Ta có:$( a+b)( a+b+c)^{2}\geq4( a+b)4c ( a+b)\geq16abc(đpcm )$

Câu 3:$3x+2y=1\Rightarrow x=\frac{1-2y}{3}$

Thay vào $H$ ta có $(\frac{1-2y}{3})^{2}-y^{2}+\left | (\frac{1-2y}{3}) .y\right |+\left | \frac{1-2y}{3}+y \right |-2=\frac{-5y^2-4y-17}{9}+\left | (\frac{1-2y}{3}) .y\right |+\left | \frac{y+1}{3} \right |$

Xét:Th1:$(\frac{1-2y}{3}) .y\geq 0\Rightarrow \frac{1}{2}\geq y\geq 0\Rightarrow y=0(do y\epsilon Z)\Rightarrow H=$$\frac{-14}{9}$ mà $x=\frac{1}{3}$ ko phải là số nguyên (loại)

Th2:$(\frac{1-2y}{3}) .y\leq 0\Rightarrow \begin{bmatrix} y\leq 0 & \\ \frac{1}{2}\leq y \Rightarrow y \geq 1& \end{bmatrix}$

+Nếu $y \geq 1$ thì $\frac{-5y^2-4y-17}{9}+\frac{2y^{2}-y}{3}+\frac{y+1}{3}=\frac{y^{2}-4y-14}{9}=\frac{(y-2)^{2}}{9}-2\geq -2$

Dấu ''='' khi $y=2;x=-1$

+Nếu $y \leq 0$:

• $0\geq y\geq -1$ thay $y=0$ thì $3x+2y=1$ không có nghiệm nguyên,$y=-1$ thì $x=1$,do đó $H=-1$
• $y\leq -2\rightarrow H=\frac{-5y^2-4y-17}{9}+\frac{2y^{2}-y}{3}-\frac{y+1}{3}=\frac{y^{2}-10y-20}{9}=\frac{(y-5)^{2}}{9}-5\geq -5$.Dấu ''='' xảy ra khi $y=5$ suy ra $x= -3$ (KTM ĐKXĐ)

Vậy $H_{min}=-2\Leftrightarrow y=2;x=-1$