tpdtthltvp

$B=\left | x^2-x+1 \right |+\left | x^2-x-2 \right |=\left | x^2-x+1 \right |+\left | -x^2+x+2 \right |\geq \left | x^2-x+1-x^2+x+2 \right |=\left | 3 \right |=3\Rightarrow minB=3\Leftrightarrow (x^2-x+1)(2-x^2+x)\geq 0\Leftrightarrow -1\leq x\leq 2$

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

Do vp=9 $\vdots$ 3, 3y $\vdots$ 3 nên 2x $\vdots$ 3 => x $\vdots$ 3 => x=3k (k $\in$  N^*)

PT trở thành 6k + 3y=9

<=> 2k+y=3

<=> y=3-2k 

Vậy PT có nghiệm (x,y) là (3k,3-2k) với $\forall$ k $\in$  N^*

Vì x,y nguyên dương nên k chỉ có thể bằng 1. Phương trình có nghiêm là x=3,y=1

*)TH1 x=0$\Rightarrow$ không tồn tại y

*)TH2 x=1 $\Rightarrow$ y=2

*)TH3 x$\geq$ 2 $\Rightarrow$ nếu y$\geq 2  suy ra 5^{x}-2^{y}\vdots 3$(loại) $\Rightarrow$ y=0 hoặc y=1. Thay vào biểu thức thấy không tìm được x thỏa mãn

Vậy x=1,y=2

Áp dụng AM-GM ta có:

$(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^{2}\leq \frac{\left [ (x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y}) \right ]^{2}}{2}$

=$\frac{\left [(x+y)+(\frac{x+y}{xy})\right]^{2}}{2}$

Mà $xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{xy}\geq 4\Rightarrow \frac{x+y}{xy}\geq 4$(vì x+y=1)

Do đó A=$(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^{2}\leq \frac{\left [ (x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y}) \right ]^{2}}{2}$=$\frac{(1+4)^{2}}{4}$=$\frac{25}{2}$

Vậy MinA=$\frac{25}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

bạn nhầm dấu rồi, phải là $\geq$ chứ!

$x^2+y^2+xy=x^2y^2\Leftrightarrow (x+y)^2=xy(xy+1)$

Vì xy(xy+1)là tích 2 số nguyên liên tiếp $\Rightarrow xy(xy+1)$ là SCP $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} xy=0 & & \\ xy+1=0 & & \end{bmatrix}$ (1)

Suy ra x+y=0(2)

Từ (1),(2) $\Rightarrow \begin{bmatrix} x=y=0 & & \\x=1,y=-1 & & \end{bmatrix}$

Giải phương trình:

a)$\frac{1}{a+b-x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}$ (x là ẩn số)

b)$\frac{(b-c)(1+a)^{2}}{x+a^{2}}+\frac{(c-a)(1+b)^{2}}{x+b^{2}}+\frac{(a-b)(1+c)^{2}}{x+c^{2}}$=0  (a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)

Ta có $n^{n}-n^{2}+n-1=n^{n}-n-(n-1)^{2}\vdots (n-1)^{2}\Leftrightarrow n(n^{n-1}-1)\vdots (n-1)^{2}\Leftrightarrow n^{n-1}-1=(n-1)(n^{n-2}+n^{n-3}+...+n+1)\vdots (n-1)^{2}$

$\Leftrightarrow$ n^n-2+n^n-1+...+1 $\vdots$ n-1. Thật vậy:  n^n-2+n^n-1​+...+1 $\equiv$ 1+1+1+...+1(n-1 số 1)=n-1(mod n-1)

=>đpcm

Những phương trình có hệ số nguyên thì dùng phương pháp hệ số bất định để phân tích

1/Tìm các số x,y nguyên thỏa mãn $x^{2}y^{2}-x^{2}-8y^{2}=2xy$

2/ Rút gọn biểu thức 

   $P=(a+b+c)^{2}+(a+b-c)^{2}+(a-b+c)^{2}+(b+c-a)^{2}$

3/Tìm thương và phần dư trong phép chia đa thức f(x)=$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots +x^{1997}$ cho $x^{2}+1$

4/Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số $A=\frac{15n^{2}+8n+6}{30n^{2}+21n+13}$ tối giản

Mọi người ai có đề thi học sinh giỏi toán 8 các năm không cho mình xin ?

Tìm các số có 2 chữ số $\overline{ab}$ sao cho $\frac{\overline{ab}}{a+b}$ là số nguyên tố

Cho 2 so a,b lần lượt thỏa mãn các hệ thức

     $a^{3}-3a^{2}+5a-17=0$

      $b^{3}-3b^{2}+5b+11=0$

Tính $D=a+b$

ab+bc+cd+de$\leq$(a+b+c)(d+e)$\leq \frac{(a+b+c+d+e)^{2}}{4}$=$\frac{1}{4}$

=>min =$\frac{1}{4}$