Sherlock Nguyen

Cho hình chóp $ABCD$ là hình vuông cạnh a, tâm O; SO vuông góc với (ABCD). M, N là trung điểm của các cạnh SA, BC. Biết góc giữa MN và (ABCD) là 60. Tính góc giữa MN và (SBD).

Bài 2:

 Đưa pt về dạng: $a^{2}+4a=m$ với $a=\sqrt{3+2x-x^{2}}$

Ta có: $\overline{abcd}=100\overline{ab}+\overline{cd} \vdots (\overline{ab}.\overline{cd})$

$\Rightarrow \overline{cd} \vdots \overline{ab} \Rightarrow \overline{cd}=k.\overline{ab}$ với $k\in N$ và $1\leq k\leq 9$

Thay và ta có:

   $100.\overline{ab}+k.\overline{ab} \vdots (k.\overline{ab}.\overline{ab})$

=> $100+k \vdots (k.\overline{ab})$ => $100\vdots k$ mà $1\leq k\leq 9$ => $k=1; 2; 4; 5$

=>....

Tìm tất cả các số nguyên dương $m,n$ sao cho $2m+1\vdots n$ và $2n+1\vdots m$.

+)giả sử $m\geq n$=>$0<2n+1\leq 2m+1 \leq 3m$

 Vì $2n+1\vdots m$ nên:

 -)$2n+1=3m$ mà $m\geq n$ nên $m=n=1$

 -)$2n+1=2m$ loại vì khác tính chẵn lẻ

 -)$2n+1=m$ => $2m+1=4n+3$ mà $2m+1\vdots n$ => $n=1; 3$ =>...

Cho A=111...111 (2m chữ số 1)
B=111...111 (m+1 chữ số 1)
C=666...666 (m chữ số 6)
Chứng minh rằng A+B+C+8 là số chính phương

$A=111...111(2m số 1)=\frac{10^{2m}-1}{9}$

$B=111...111(m+1 số 1)=\frac{10^{m+1}-1}{9}$

$C=666...666(m số 6)=\frac{6(10^{m}-1)}{9}$

=> $A+B+C+8=(\frac{10^{m}+8}{3})^{2}$

Cho $a; b; c\geq 0$. CMR: $\sum a^{3}.\sum \frac{1}{a^{3}}\geq \frac{3}{2}.\sum \frac{a+b}{c}$

Tìm $a; b$ để phương trình có nghiệm duy nhất:

                    $\left\{\begin{matrix} xyz+y=a & & \\ xy^{2}z+y=b & & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 & & \end{matrix}\right.$

Cho các số thực dương a; b; c; d có tổng bằng 1. CMR:

   $abc+bcd+cda+dab\leq \frac{1+176abcd}{27}$

Cho $A=999N$ với $N\in {1; 2; ...; 999}$

CMR: Tổng các chữ số của A luôn bằng 27.

* N có 1 chữ số. N=a

=> $A= 999a= 1000a-a= 1000(a-1)+9.100+9.10+(10-a)= \overline{(a-1)99(10-a)}$ (ĐCCM)

* N có 2 chữ số. $N=\overline{ab}= 10000a+100b-10a-b= 10000a+1000(b-1)+9.100+10(9-a)+(10-b)$

   -) $b\neq 0$ => $A=$\overline{a(b-1)9(9-a)(10-b)}$ => đccm

  -) $b=0$ => $A=$\overline{(a-1)99(10-a)0}$ => đccm

* N có 3 cs. TT

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\sqrt{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}\geq abc+\sqrt[3]{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$

Cho phương trình: $(m^{2}+m+1).x^{2}-(m^{2}+2m+2)x-1=0$. Tìm giá trị lớn nhất; nhỏ nhất của $x_{1}+x_{2}$

Viết số 2007 thành tổng của $k$ hợp số. Tìm giá trị lớn nhất của $k$

Vì ta phải tìm giá trị lớn nhất của $k$ nên ta xét hợp số nhỏ nhất là 4.

Ta có: $ \left [ \frac{2007}{4} \right ]=501$ => $2007=4.501+3$ nhưng 3 không là hợp số nên ta hạ xuống $2007=4.500+7$ (loại)=4.499+11 (loại)=498.4+6+9(t/m)

vậy $k=498+1+1=500$.

Cho $\Delta ABC$ có 3 góc nhọn AC>BC nội tiếp (O). Vẽ các tiếp tuyến với (O) tại A và B, các tiếp tuyến này cắt nhau tại M. Kẻ OH vuông góc MC. Qua C kẻ đường song song với AB cắt MA; MB tại E; F. Nối EH cắt AC tại P; HF cắt BC tại Q. CMR:

  a. Tia HM là phân giác $\widehat{AHB}$

  b. Tứ giác PCQH nội tiếp

  c. QP// EF

Tìm số tự nhiên x; y thỏa mãn:

 a) $x^{2000}+y^{2000}=2003^{2000}$

 b) $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2001}$

$\frac{6666...66}{15}=\frac{2}{5}.1111...11=0,4.1111...1=\frac{4444..44}{10}=444...4,4$ (100 c/s 6; 100 c/s 1; 100 c/s 4)

=> c/s cần tìm là 4